Расчёт электрических фильтров

 

Федеральное агентство  связи

Сибирский государственный  университет телекоммуникаций и  информатики

 

 

 

 

 

 

 

                                     

 

Курсовая Работа

по дисциплине «Основы Теории Цепей»

 

Расчёт электрических фильтров

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Новосибирск 2011

 

Содержание

 

Введение Задание	.................................................................................................................... ....................................................................................................................										3 4
Расчет и построение графиков амплитудного спектра радиоимпульсов										...............	6
Формирование требований к полосовому фильтру								.............................................			9
Формирование передаточной функции НЧ – прототипа									.....................................		11
Реализация LC-прототипа			.......................................................................................								13
Реализация пассивного полосового фильтра							.........................................................				16
Расчет полюсов ARC-фильтра				.................................................................................							17
Формирование передаточной функции						.................................................................					19
Расчет элементов схемы фильтра					............................................................................						20
Проверка результатов расчета				.................................................................................							22
Литература		...............................................................................................................									25

 

 

Введение

 

В данной курсовой работе выполняется  конкретная техническая задача –  расчет электрической цепи для выделения  эффективной части спектра периодических  радиоимпульсов с помощью полосового фильтра, по схеме пассивного LC-фильтра и по схеме активного ARC-фильтра.

Электрические фильтры - это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами: они предназначены для  выделения из состава сложного электрического колебания частотных составляющих определенного спектра частот, лежащего в полосе пропускания, и подавления тех составляющих, частоты которых лежат за пределами полосы пропускания, т.е. в полосе непропускания или полосе задерживания.

В начале нашего столетия электрические  фильтры, составленные из ряда катушек  индуктивности и конденсаторов, получили широкое применение в технике. Благодаря их применению оказалось  возможным осуществление многих магистралей дальней телефонной, телеграфной и других видов связи. В 30-е годы началось развитие современной  теории построения электрических фильтров, основанной на использовании строгих  математических методов наилучшего приближения функций, разработанных  великим русским ученым и математиком  П.Л. Чебышевым и его учениками  и последователями. Применение этих методов позволило обеспечить построение электрических фильтров с нужными  характеристиками при минимально необходимом  числе элементов. Особенно быстрое  и плодотворное развитие методов  синтеза электрических цепей, и  в частности электрических фильтров, достигнуто в результате применения ЭВМ и разработки специальных  методов расчета. В настоящее  время практическое применение получили кварцевые, электромеханические, активные RС - фильтры и другие.

По взаимному расположению полос  пропускания и полос задерживания различают фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и режекторные фильтры (РФ).

 

 

Вариант 26

Задание

Согласно заданию на курсовую работу на входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рис. 1.1) с параметрами: период следования импульсов Т_и = 105 мкс; длительность импульсов t_и = 40 мкс; период несущей частоты T_н = 10 мкс; амплитуда несущего колебания U_m.н = 12 В, имеющего форму гармонического u_н(t) = U_m.н × cosω_нt. Фильтр должен обеспечить максимально допустимое ослабление в полосе пропускания ΔА = А_мах = 3 дБ. Полное ослабление на границах полос не пропускания А_пол = 23 дБ. Сопротивление генератора радиоимпульсов R_г и сопротивление нагрузки R_H пассивного фильтра R_r = R_н = R = 1000 Ом (рис. 1.2). Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

Рисунок 1.1 Периодические радиоимпульсы

 

Рисунок 1.2  Сопротивления нагрузок фильтра

Требуется рассчитать двусторонне  нагруженный пассивный полосовой LC-фильтр и активный полосовой RC-фильтр для выделения эффективной части спектра радиоимпульсов, лежащей в полосе частот от (f_н – 1/t_и) до (f_н + 1/t_и) (главный «лепесток спектра»). Частоты полосы f_п1 и f_п2 границы полосы пропускания фильтров определяются крайними частотами в главном «лепестке спектра». Частоты f_з1 и f_з2 полосы задерживания (непропускания) фильтра определяются частотами первых дискретных составляющих, лежащими слева от (f_н – 1/t_и) и справа от (f_н + 1/t_и).

В ходе выполнения курсовой работы необходимо:

1. Рассчитать и построить график амплитудного спектра радиоимпульсов.
2. Определить частоты f´_п2 и f_з2 и рассчитать превышение амплитуды частоты f_п2 над амплитудой частоты f_з2 в децибелах в виде соотношения А´ = 20lgU_mп/U_mз на входе фильтра.
3. Рассчитать минимально допустимое ослабление фильтра в полосе задерживания А_min = A_пол – А´.
4. Рассчитать порядок m НЧ-прототипа требуемого фильтра.
5. Получить выражение для передаточной функции НЧ-прототипа при аппроксимации его характеристики полиномом Чебышева.
6. Осуществить реализацию двухсторонне нагруженного полосового LC-фильтра
7. Осуществить реализацию полосового ARC-фильтра.
8. Привести ожидаемую характеристику ослабления полосового фильтра в зависимости от частоты, т.е. А = K(f).
9. Рассчитать ослабление ARC-фильтра на границах полосы пропускания и полосы непропускания (задерживания).
10. Привести схему ARC-полосового фильтра.

 

 

1. Расчет и построение графиков амплитудного спектра радиоимпульсов

Вначале находим несущую частоту:

 Гц = 100 кГц

Затем рассчитываем частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:

 кГц

 кГц

 кГц

 кГц

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте f_H находится по формуле:

B       (1.1)

f_н + 2/t_и

---

f_н - 2/t_и

f_н - 1/t_и

f_н + 1/t_и

f_н

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую  дискретного спектра периодических  радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот (рис. 1.3).

f_-3

f_-5

f_-4

f₃

f_-2

f_-1

f₄

f₂

f₁

f₅

Рисунок 1.3  Огибающая дискретного спектра периодических радиоимпульсов и дискретные составляющие внутри огибающей спектра

 

Внутри огибающей находятся  спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами f_i,  где i - номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле:

Учитывая, что

  кГц

рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от f_H:

 кГц

 кГц

 кГц

 кГц

 кГц

Частоты гармоник, лежащих слева  от f_H, будут равны:

 кГц

 кГц

 кГц

 кГц

 кГц

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся по формуле:

,    (1.2)

где К = t_И/Т_Н - количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе.

,

Из анализа рис. 1.3 видно, что главный «лепесток спектра» занимает диапазон частот от 75 до 125 кГц. После расчета амплитуд по (1.2) их значения отразим в виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра (рис. 1.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Формирование требований к полосовому фильтру

Учитывая, что амплитуды спектральных составляющих на частотах 75 и 125 кГц равны нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 80.95 кГц до 119.05 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра f_п1 и f_п2 соответственно (рис. 2.1). Граничную частоту полосы непропускания f_з2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты (f_н + 1/t_и) = 125 кГц. Этой частотой является частота f₃ = 128.57 кГц. Следовательно, f_з2 = f₃ = 128.57 кГц.

Рисунок 2.1  Границы полосы пропускания  и непропускания

 

Используя понятие центральной  частоты ПП и ПН найдем центральную частоту ПП:

Тогда граничная частота f_З.1 полосы непропускания будет:

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы  амплитуд гармоник f₂ и f₃ спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной А_пол - полного ослабления:

дБ, где         (2.1)

  (2.2)

- исходная разница амплитуд второй и третьей гармоник в децибелах, найденная в ходе расчета спектра радиоимпульсов.

По (2.2) находим:

отсюда по (2.1):

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

Аппроксимацию передаточной функции выполним с помощью полинома Чебышева.

 

3. Формирование передаточной функции НЧ – прототипа

Найдем граничные частоты ПП и ПН НЧ – прототипа:

Найдем значения нормированных частот:

Требования к НЧ - прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 3.1.

                          

Рисунок 3.1  Требования к НЧ

Находим коэффициент неравномерности  ослабления фильтра в ПП используя универсальное соотношение

, (где ψ(Ω) – функция фильтрации)  (3.1)

при А = ΔА и Ω = 1, когда ψ(1) = Т_т(1) = 1:

 

Порядок фильтра Чебышева находится  также из (3.1), но при А = A_min и Ω =Ω₃, т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева T_m(Ω) = ch m arch Ω, поэтому:

         _(3.2)

Для вычисления функции arch x воспользуемся соотношением:

.

После подстановки в (3.2) исходных данных и вычислений получим т = 2.27. Рассчитанное значение т округляем в большую сторону до целого числа, т = 3.

Полюсы нормированной передаточной функции НЧ – прототипа при ∆A = 3 дБ:

       (3.3)

Формируем нормированную  передаточную функцию НЧ - прототипа в виде:

,

где v(p) - полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

Производя вычисления, получим:

 (3.4) 

4. Реализация LC-прототипа