Федеральное агентство по образованию 

    Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования 

    САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

    имени академика С.П. Королева 
 

    Кафедра прочности летательных аппаратов 
 

    ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

      к курсовому проекту

    по  курсу “Строительная механика” 
 
 
 
 
 
 
 

                         Выполнил студент  

    Руководитель  курсового проекта  Зацепина М.В.

    Оценка____________________________________

    Подпись преподавателя______________________

    «______»__________________2010 год. 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Самара 2010 

РЕФЕРАТ 

    Пояснительная записка  34 страницы, 11 рисунков, 10 таблиц, 3 источника. 
 
 

ФЕРМА, СТЕРЖЕНЬ, УЗЛОВЫЕ СИЛЫ, ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ,  ТОНКОСТЕННАЯ КОНСТРУКЦИЯ, ОДНОЗАМКНУТЫЙ КОНТУР, МОМЕНТ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ,  НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ, ПОГОННЫЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ СИЛЫ, СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ 
 
 
 

    В первой части работы осуществлена методика расчета пространственной статически неопределимой фермы матричным  методом перемещений.

    Во  второй части производится расчёт тонкостенной конструкции с разомкнутым контуром поперечного сечения. Определяется положение центра изгиба сечения, момент инерции, нормальные напряжения в поясах и обшивке при изгибе конструкции. Выводится закон изменения статического момента по контуру разомкнутого сечения. Рассчитываются погонные касательные силы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………..3 
 

    ВВЕДЕНИЕ

    В связи с необходимостью развития навыка применения ЭВМ для расчёта сложных конструкций, при котором используются дискретные математические методы, базирующиеся на использовании универсальных матричных методах, появилась необходимость в практическом решении данной задачи студентами. В первой части работы описана методика расчёта пространственных статически неопределимых ферм матричным методом перемещений.

    На  практике широко используются разного  рода тонкостенные конструкции, к примеру, разомкнутый контур подкреплённый рёбрами жёсткости работающий в самых разнообразных условиях. В связи с этим необходимо чётко представлять возможности конструкции, для чего производится ряд расчётов, направленных на определение их характеристик.

   1 РАСЧЁТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ  ФЕРМЫ МАТРИЧНЫМ  МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

   1.1 Матричный метод перемещений применительно к расчету ферм

   1.1.1 Матрица жесткости ферменного элемента

   Ферменным элементом называется прямолинейный  стержень, который присоединяется к  другим элементам посредством идеальных  шарниров и не несет поперечных нагрузок. Поэтому он испытывает лишь растяжение или сжатие.

   Выберем местные координаты для стержня  таким образом, чтобы ось  совпадала с его продольной осью и была направлена от узла с меньшим номером к узлу с большим номером (рис.1.1).

   

   Рисунок 1.1 - Силы и перемещения для стержня в местной системе координат

   Обозначим силы приложенные к концам стержня  в направлении  , через и , а соответствующие им перемещения – через и . Узловые силы и перемещения в местной системе координат образуют матрицы

                            ,              .     (1)

   Они связаны между собой зависимостью

                                  ,               (2)

   где -матрица жесткости ферменного элемента в местных координатах (3).

   Здесь - модуль упругости на растяжение; - площадь сечения; - длина стержня.

   В выражении (3) для определенности указаны номера i и j строк и столбцов в соответствии с порядком расположения элементов в матрицах и .

   Отнесем теперь ферменный элемент ij к общей  для всей фермы системе координат x,y,z (рисунок1.2).

   Пусть оси стержня составляют с координатными осями углы, косинусы которых равны

     ,       ,      ,                          (4)

   где - проекции стержня на координатные оси, а

    .                                  (5)

   

   Рисунок 1.2 - Обозначение узловых перемещений стержня пространственной фермы

   Перемещения каждого узла имеют составляющие по всем трем осям общей системы  координат (рисунок 1.2), поэтому в  этой системе матрицы перемещений, а следовательно, и матрицы узловых  сил будут иметь соответственно по три элемента:

    ,       ,          ,         .     

   Для стержня в целом имеем

    ,                                           (6)

   Перемещения узла i в местной и общей системах координат связазаны между собой  соотношением :

   

   Здесь      .                 (7)

       Для стержня в целом имеем 

    ,          (8)

   где через  обозначена матрица преобразования координат для ферменного элемента

                                         

    .                           (9)

   Матрица жесткости ферменного элемента в общей системе координат

     вычисляется

             (10) 

   она имеет размер 6 х 6.

   В блочной записи она имеет вид

    ,                                           (11)

   где .

        Матрица жесткости является симметричной.

   1.1.2 Матрица жесткости  фермы

   Рассмотрим  теперь пространственную ферму, отнесенную к произвольной системе координат x, y, z. Предположим что перемещения  каждого узла i в направлении координатных осей известны и образуют матрицу:

    .

   Проекции  внешней силы, приложенной к узлу i, обозначим через  , , и составим из них матрицу

    .

   Матрицы узловых сил и перемещений  для всей фермы будут иметь  вид

    ,

    .

   Здесь P и V обозначены матрицы-столбцы. Элементы этих столбцов для удобства записи условно расположены в строку и заключены в фигурные скобки. Через m обозначено число узлов фермы.

   Если  перемещения V известны, то силы P, необходимые  для их создания, определяются по формуле

                                                                                                                (12)

   или

    ,                                  (13)

   где K – матрица жесткости фермы. Элементами этой матрицы будут подматрицы размера 3 х 3, связывающие силы с перемещениями .

   Правила формирования подматриц  из матриц жесткости разрозненных элементов (11) можно получить, рассматривая уравнения равновесия, записанные для узлов фермы. Они сводятся к следующему: , если узлы i и j не принадлежат одновременно к одному из стержней; , если узлы i и j принадлежат к одному стержню, причем ; , где суммирование производится по всем стержням, сходящимся в узле i.

   Практически для получения матрицы жесткости  фермы можно все элементы матрицы  жесткости каждого стержня

   

   поместить в соответствующие ячейки в общей  матрице жесткости и произвести затем суммирование всех накладывающихся элементов (для фермы такое наложение появится лишь в диагональных подматрицах ).

   1.1.3 Определение узловых  перемещений

   При известных нагрузках, приложенных  к ферме, равенство (12) можно рассматривать как систему алгебраических уравнений относительно перемещений V.

   Если  ферма закреплена, то перемещения  соответствующих узлов в направлении  опорных связей равны нулю, остальные  перемещения подлежат отысканию. Компоненты перемещений можно расположить  таким образом, чтобы в матрице V сначала перечислялись все неизвестные, а затем – известные (нулевые) перемещения. Тогда матрица V будет представлена в блочной форме

    ,                                                      (14)

   где подматрица содержит только неизвестные перемещения, а подматрица - нулевая. Поскольку порядок перечисления сил в матрице P всегда должен строго соответствовать порядку следования перемещений в матрице V, то можно записать

    .                          (15)

   В входят известные внешние силы, действующие в направлении перемещений . Подматрица содержит силы, действующие по направлению наложенных связей и представляющие собой реакции опор.

   Строки  и столбцы матрицы жесткости K должны быть расположены в таком же порядке, как перечисляются силы и перемещения в матрицах P и V.

   В результате матрицу жесткости можно  привести к блочному виду, а вместо (12) записать

    .                         (16)

   Отсюда  следует, что 

                      (17)

   Решая уравнение (17) , можно найти неизвестные перемещения .

   Заметим, что практически нет необходимости  производить перестановку элементов  матриц V, P и K. Для получения так  называемых сокращенных матриц , и достаточно в полных матрицах P и V вычеркнуть строки, а в матрице K – строки и столбцы, имеющие номера известных перемещений.

   Проиллюстрируем последнее на примере фермы, изображенной на бланке индивидуального задания. Поузловая нумерация ( и т.д.) для этой фермы показан на рисунке 1.3.

   Из  условий закрепления системы узловые перемещения

   V2y V3x V4y V4z V5x V5y V6x V6y V6z V7x V7y V7z V8x V8y V8z равны  нулю. Поэтому для получения сокращенных  матриц из  матриц P и V вычеркивают  строки, а из общей матрицы  жесткости K – строки и столбцы,  соответствующие этим индексам. Оставшиеся элементы, заштрихованные на рисунке 1.6 , образуют матрицу .