Помехоустойчивое кодирование

 

    После поступления на вход регистра информационного  блока в его ячейках формируется  последовательность .

    Для того, чтобы определить является ли разрешенной комбинация, следует  найти остаток от деления принимаемой  комбинации на порождающий многочлен . Если остаток равен нулю, комбинация является разрешенной, если остаток отличен от нуля, то принимаемая комбинация является неразрешенной. Осуществим деление в среде Matlab: 
 
 
 

    В данном случае принимаемая комбинация является неразрешенной. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    3 Код Рида-Соломона 

    Задача 3.1.1. Построить таблицы представления, сложения и умножения элементов  в поле GF(q), где . Определить порождающий многочлен кода Рида-Соломона над этим полем, исходя из условия, что код должен исправлять неправильно принятых q-ичных символов. Сформировать разрешённую комбинацию систематического кода, соответствующую заданной информационной комбинации a(x) = 100101110 (456). Вычислить синдром, определить местонахождение и значение ошибки и устранить ошибку в принимаемой кодовой комбинации V’(x) = 100011110000111101111 (4360757). 

    Решение:

    Определим параметры кода Рида-Соломона:

     

      – длина кода;

      – кодовое расстояние;

      – максимальная степень полинома g(x);

      – длина информационной последовательности. 

    Первым  этапом решения задачи является построение таблицы представлений поля GF(8), построенного на основе многочлена с примитивным элементом . 

Таблица 2 – таблицы представления элементов в поле GF(8)

Степенное обозначение	Многочленное обозначение	Кодовое обозначение	Десятичное обозначение
0	0	000	0
α0	1	001	1
α1	z	010	2
α2	z2	100	4
α3	z+1	011	3
α4	z2+z	110	6
α5	z2+z+1	111	7
α6	z2+1	101	5

 
 

Таблица 3 – Таблица сложения элементов в поле GF(8)

+	0	1	α1	α2	α3	α4	α5	α6
0	0	1	α1	α2	α3	α4	α5	α6
1	1	0	α3	α6	α1	α5	α4	α2
α1	α1	α3	0	α4	1	α2	α6	α5
α2	α2	α6	α4	0	α5	α1	α3	1
α3	α3	α1	1	α5	0	α6	α2	α4
α4	α4	α5	α2	α1	α6	0	1	α3
α5	α5	α4	α6	α3	α2	1	0	α1
α6	α6	α2	α5	1	α4	α3	α1	0

 

Таблица 4 – Таблица умножения элементов в поле GF(8)

´	0	1	α1	α2	α3	α4	α5	α6
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	α1	α2	α3	α4	α5	α6
α1	0	α1	α2	α3	α4	α5	α6	α7
α2	0	α2	α3	α4	α5	α6	α7	α8
α3	0	α3	α4	α5	α6	α7	α8	α9
α4	0	α4	α5	α6	α7	α8	α9	α10
α5	0	α5	α6	α7	α8	α9	α10	α11
α6	0	α6	α7	α8	α9	α10	α11	α12

 

    Так как , то каждый q-ичный символ кода состоит из трех двоичных элементов. Поэтому с учетом таблицы 2: 

    . 

    Далее вычислим порождающий многочлен : 
 
 

    Определим разрешенную комбинацию систематического кода . 

     

      

      определяется по формуле 7, воспользовавшись средой Matlab.  

      

    Отсюда  разрешенная комбинация систематического кода равна: 

      

    10111101111

    Определим  является ли  разрешенной комбинации . Если в соответствии с формулой 8 синдром содержащий – разрядов, то все разряды должны быть нулевыми:

 
 
 

где:

     

      

      

    Вычисляем синдром для этой комбинации:  

      

       

      

      

    Локатор ошибок для данного кода будет  иметь вид: . Найдем его коэффициенты из следующей системы уравнений: 
 
 

    Подставив в нее значения синдрома, получим: 
 
 

    Получим коэффициенты локатора ошибок: и .

    Локатор ошибок имеет вид: 
 
 

    Для того, чтобы найти корни  нужно в правую часть подставить вместо поочередно все ненулевые значения элементов поля . Те элементы поля, при подстановке которых полином принимает нулевое значение, являются его корнями. Получаем что: .

    Отсюда  находим числа , которые указывают расположения ошибок в принятой кодовой комбинации: .

    Это значит, что ошибки находятся при 2 и 5 степенях многочленного представления  принятой кодовой комбинации. Но кроме  расположения ошибок необходимо выяснит  их значение. Для этого решим систему: 
 
 

    Подставим в систему значения : 
 
 

    Коэффициенты  – принадлежат многочлену ошибок . Запишем и сам многочлен : 
 
 

    Сложим  многочлен ошибок с принятой кодовой  комбинацией и получим исправленную комбинацию, которая является разрешенной: 
 

  

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

    В процессе выполнения курсового проекта  были изучены принципы кодирования  кодом Хэмминга, БЧХ и Рида-Соломона. В соответствии с заданием были решены три задачи.

    Таким образом, задание на курсовой проект выполнено в полном объёме.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 

    1 Султанов Б.В., Иванов А.П., Геращенко  С.М. Математические основы построения  помехоустойчивых блочных кодов  для защищённых телекоммуникационных  систем: учебное пособие. – Пенза:  Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2007. – 64с.: ил. – Библиогр.: с.56. 

    2 Кузнецов Ю.А. Передача дискретных сообщений. Конспект лекций. – Пенза 2000г.