Шпаргалка по "Культорологии"

В унитарном (евклидовом) пространстве сис-ма ненулевых попарно ортогональных векторов (e1…em) - ЛНЗ.

Д-во:

Запишем рав-во * для сис-мы векторов e1…em

Обе части  этого рав-ва умножим скалярно справа последовательно на векторы e1…em

Пусть L n-мерное евклидов(унитарное) пространство. Тогда сис-ма ненулевых попарно ортогональных векторов сост. из n-элементов явл. базисом.

Д-во: из п.4 Т. о базисах и см. выше.

e1…en- ОБ

если  при этом норма вектора равна 1, то он ОНБ. 

Возьмем x из L

x=x1e1+x2e2+…xnen

Скалярно  умножим на e1…en обе части

Xi - коэфф. в-ра x в ОБ

если  e1…en – ОНБ, то Xi=(x,ei)

Алгоритм  Грама-Шмидта

Дано: {a1…an} - базис

f:L1→L1

f- оператор умн. вектора на число.

f(x)= \x

f(x)e=Ax e= \x e

Пусть А – кв. мтарица.

Если  Ax= \x, где x≠0!!!, то число  \ наз. собств. числом м-цы А, а x≠0 наз. собственным вектором м-цы А, соотв. собств. числу \.

матричная запись ОСЛАУ в, кот. кол-во ур-ий = кол-ву неизв.

Данная  система имеет ненул, решение, тогда, когда det =0 (€). Ур-ие наз. характеристическим. Алгоритм нах. собств. чисел и собств. векторов.

1) Решить  ХУ, найти СЧ

2)найдя  СЧ подстав. в рав-во (€) решить  эту сис-му методом Г.-Ж. и найти тем самым СВ.

Т| СВ x1…xk кв. м-цы А, соответсвующ. разл собств. числам  \1… \k, KYP

Д-во: По индукции и приплести рав-во *, и  еще умножить там надо будет на слева.

А* назыв  сопряж. к А, если выполняется

A*=A    (транспон. и комплексно сопряж.)

L-унит.(евкл.) пр-во А - м-ца ЛО в L, тогда

(Ax,y)=(x,A*y)

М-ца наз. самосопряженной, если А=А*

Св-ва самосопряженной  м-цы:

1) (Ax,y)=(x,Ay)

2) СЧ самосопр. матрицы действительные

д-во:

из Ax,x вычесть x,Ax.

3) СВ  самосопр. м-цы соотв различным  собств. числам ортогональны.

д-во

x-СВ      \

у-СВ      \

_Ax,y=(  \ x,y)= \ (x,y)

  x,Ay=(x,  \ y)= \ (x,y)

      0  = (x,y)( \ ,  \ )

(x,y)=0 – x,y ортогональны.

4) Сущ-ет  ровно n попарно ортогональных в-ров самосопр. м-цы и эти векторы образуют ортогон. базис в C ,R  и этот базис наз. собств. базисом самосопр. м-цы 
 

Кв. м-ца называется унитарной, если её столбцы образуют ортонормированный базис в С , R .

T| М-ца унитарна тогда и только nulf когда м-ца обратная к А совп. с А*.

Св-ва унитарной  м-цы:

|detA|=1

д-во:

A* A=Е, det(A* A)=detE, detA* detA=1

detA  detA=1

detA detA=1

(detA) =1

|detA|=1

2) (Ax,Ay)=(x,y)

(Ax,Ay)=x,A*(Ay))=x,(A*Ay)

3)Унитарная  матрица сохр. норму вектора

||Ax||=||x||

4) CЧ унит. м-цы по модулю равны 1.

\ - СЧ  м-цы А

x – СВ м-цы А, соотв  \

(Ax,Ay)=( \x, \,x)= \  \ (x,x)

\  \(x,x)=(x,x)

\  \=1

| \|=1.

Пусть x1,x2,…,xn это попарно ортогон. ненулевые векторы.

Расcм. м-цу А сост из столбцов А [x1…xn], тогда

д-во:

М-ца А неявл. унитарной. нормируем x1…xn