Измерительные сигналы

Рисунок 6 - Амплитудно-модулированный (1) и модулирующий (2) сигналы

 

Амплитудно-модулированные сигналы  описываются формулой

   

где m — глубина амплитудной модуляции (всегда меньше единицы). При частотной модуляции (рис.7) измерительная информация содержится в частоте модулированного сигнала, т.е.

где D_w — наибольшее изменение частоты модулированного сигнала, т.е. девиация частоты, пропорциональная амплитуде модулирующего сигнала.

При фазовой модуляции (рис. 8) модулирующий сигнал X(t) воздействует на фазу несущего колебания:

где m_ф — коэффициент фазовой модуляции.

Рисунок 7 - Частотно-модулированный (1) и модулирующий (2) сигналы

Рисунок 8 - Модулирующий (1), фазомодулированный (2) и                              опорный (3) сигналы

 

Если модулируемым сигналом является периодическая последовательность прямоугольных импульсов, то возможны три вида модуляции (рис. 9):

• амплитудно-импульсная (АИМ);

• частотно-импульсная (ЧИМ);

• широтно-импульсная (ШИМ).

Рисунок 9 - Несущая последовательность прямоугольных импульсов (а), модулирующий (б), амплитудно-модулированный (в), частотно-модулированный (г) и широтно-модулированный (д) сигналы

 

При этом параметром, несущим измерительную  информацию, соответственно являются амплитуда, частота и длительность импульсов.

Квантование и дискретизация измерительных сигналов

Квантование — измерительное преобразование непрерывно изменяющейся величины в ступенчато изменяющуюся с заданным размером ступени q — квантом. В результате проведения этой операции непрерывное множество значений сигнала Y(t) в диапазоне от Y_min до Y_max преобразуется в дискретное множество значений Y_KB(t) (см. рис.10). Квантование широко применяется в измерительной технике. Существует большая группа естественно квантованных физических величин. К ним относятся электрический заряд, квантом которого является заряд электрона, масса тела, квантом которой является масса молекулы или атома, составляющих данное тело, и др.

Рисунок 10 - Исходный непрерывный (1) и непрерывный по

времени и квантованный по размеру (2) сигналы

 

Различают равномерное (q — постоянная величина) и неравномерное (q — переменная величина) квантование. Неравномерное квантование применяется достаточно редко, в специфических случаях, например при большом динамическом диапазоне квантуемой величины. В связи с этим в дальнейшем рассматривается только равномерное квантование.

Процесс квантования описывается  уравнением

где Y_кв(t) — квантованный сигнал; N(t_i) — число квантов; l(t - t_i) — единичная функция.

Любой процесс измерения по сути своей есть процесс квантования. Например, при измерении длины тела линейкой с миллиметровыми делениями определяется целое число миллиметров, наиболее близкое к истинному размеру тела. В данном случае в роли кванта выступает миллиметр. При использовании микрометра квантом является величина, равная 10^-6 м.

Разность между истинным значением  длины тела и измеренным линейкой есть погрешность квантования. Погрешность квантования D — методическая погрешность отражения непрерывной величины ограниченным по числу разрядов числом. Она равна разности между значением непрерывной функции и значением, полученным в результате квантования (см. рис. 10).

Cигналы, дискретизированные по времени и непрерывные по размеру получаются из непрерывных по времени и размеру сигналов посредством дискретизации. Дискретизация — измерительное преобразование непрерывного во времени сигнала Y(t) в последовательность мгновенных значений этого сигнала Y_k=Y(kDt), соответствующих моментам времени kDt, где k =1; 2; ... Интервал времени Dt называется шагом дискретизации, а обратная ему величина f =l/Dt — частотой дискретизации.

Процесс дискретизации непрерывного сигнала показан на рис. 11. Математически он описывается с помощью дельта-функции 5(t-kAt), которая, как известно, обладает стробирующим действием. Идеальный дискретизированный сигнал Y_fl является последовательностью импульсов нулевой длительности и аналитически может быть представлен в виде

где Y(kDt) — значение непрерывного сигнала в k-й точке дискретизации.

Рисунок 11 - Дискретизация непрерывного сигнала (а) и погрешность

восстановления (б):

1 — исходный непрерывный сигнал; 2 — сигнал, дискретизированный-по времени и непрерывный по размеру; 3 — восстановленный с помощью полинома Лагрзнжа нулевой степени непрерывный во времени сигнал

 

Дискретизация бывает равномерной (At = const) и неравномерной (At — переменная величина). На практике наибольшее распространение получила равномерная дискретизация.

По способу получения дискретных значений различают физическую и аналитическую дискретизации.

При физической дискретизации, т.е. дискретизации, осуществляемой аппаратными средствами электроники (рис. 12, а), преобразование непрерывного сигнала в последовательность мгновенных значений осуществляется с помощью стробирующего импульса конечной (ненулевой) длительности т_с (рис. 12, б). Поэтому амплитуда дискретизированных значений может находиться в диапазоне от Y_BbIX(t_i) до Y_BbIX(t_i - t_c). Поскольку дискретизированное значение относят, как правило, к моменту времени t_i, то возникает погрешность датирования отсчета D_д =Y_BbIX(t_i) — Y_cp, максимальное значение которой D_дm = Y_вых(t_i + t_c) - Y_вых(t_i), где Y_cp — некоторое значение сигнала Y_cp Î [Y_выx(t_i);Y_вых(t_i+t_c)], зависящее от аппаратной реализации устройств, дискретизирующих измерительный сигнал.

 

 

Рисунок 12 - Структурная схема процесса физической дискретизации (а)

и основные сигналы в укрупненном временном  масштабе (б)

 

Дискретизация имеет место в  расчетах процессов, проводимых с помощью вычислительной техники. В этом случае она называется аналитической (математической, расчетной, условной). При такой дискретизации длительность стробирующего импульса равна нулю; следовательно, погрешность датирования принципиально отсутствует и дискретизированное значение относится к заданному моменту времени, т.е. определяется мгновенное значение сигнала.

В дискретизированном сигнале отсутствуют промежуточные значения, которые содержались в исходном непрерывном сигнале. Однако часто принципиально необходим непрерывный сигнал. Поэтому во многих случаях дискретизированный сигнал требуется преобразовать в непрерывный, т.е. восстановить его промежуточные значения. Задача восстановления дискретизированных сигналов в общем случае аналогична задаче интерполирования функций. При восстановлении исходного сигнала Y(t) по совокупности выборок Y_д(kDt) формируется обобщенный многочлен

где C_i(t) — система базисных функций, которая обычно является ортогональной или ортонормированной; a_i — коэффициенты ряда. Его значения в точках дискретизации совпадают со значениями непрерывной функции. В ряде случаев при формировании восстанавливающего многочлена накладывается условие совпадения производных до заданного порядка п включительно.

При восстановлении непрерывный сигнал на каждом из участков между соседними  дискретными значениями заменяется кривой, вид которой определяется выбранными базисными функциями. Восстановление непрерывного сигнала из дискретизированного должно проводиться с возможно меньшей заданной погрешностью. Для этого необходимо соответствующим образом выбрать для данного участка сигнала восстанавливающую базисную функцию.

Коэффициенты ряда и базисные функции  могут выбираться на основе различных критериев, например: наибольшего отклонения, минимума погрешности или совпадения значений восстанавливаемого непрерывного сигнала с мгновенными значениями дискретизированного сигнала. В "измерительной технике наиболее широко используется последний критерий, так как он удобен для аналитического восстановления с помощью компьютера на основе результатов измерения мгновенных значений дискретизированного сигнала, отличается простотой реализации и достаточно высокой точностью.

Восстановление сигнала в данном случае регулируется теоремой Котелъникова, которая формулируется следующим образом: если функция Y(t), удовлетворяющая условиям Дирихле — ограничена, кусочно-непрерывна, имеет конечное число экстремумов — и обладающая спектром с граничной частотой f_c, дискретизирована циклически с периодом Dt, меньшим или равным l/(2f_c), т.е. f_д > 2f_c, то она может быть восстановлена по всей этой совокупности ее мгновенных значений без погрешности.

Если теорема Котельникова выполняется, то непрерывный сигнал Y(t) может быть восстановлен как сумма базисных функций, называемых рядом Котельникова:

где w_c=2pf_c — круговая граничная частота спектра непрерывного сигнала Y(t); Dt — период дискретизации; F_от(t) — функция отсчетов.

Ряд Котельникова является одним из примеров обобщенного ряда Фурье  и замечателен тем, что его  коэффициенты равны мгновенным дискретизированным значениям сигнала Y(t) и, следовательно, определяются наиболее простым способом.