Математические основы цифровой обработки сигналов

Федеральное агентство связи 

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов 

Курсовая  работа

По  дисциплине: Математические основы цифровой обработки сигналов

                                    
 
 

                                      Выполнил:.

                                      Группа:

                                      Вариант: 06

                                       Проверил: ___________________ 
 
 

Новосибирск, 2011 г

Содержание

 

Задание на курсовую работу

Непрерывное сообщение передается по системе  связи дискретными сигналами. На стороне передачи исходное сообщение преобразуется в первичный электрический сигнал, который, в свою очередь, преобразуется в цифровую форму. Перед передачей в канал связи сигнала сообщения производится также предварительная обработка его цифрового представления по заданному алгоритму. На стороне приёма восстанавливается непрерывное сообщение (с учётом предварительной обработки на стороне передачи), которое и выдается получателю.

Значения  сигнала сообщения изменяются в  пределах от 0 до U_max.

Спектр  сигнала сообщения перед дискретизацией для преобразования в цифровую форму  ограничивается частотой F_в.

Дискретизация сигнала сообщения отсчётами  производится с интервалом, в k раз меньшим по сравнению с шагом дискретизации, определяемым теоремой Котельникова.

Отсчёты после дискретизации представляются n-разрядными двоичными числами. Последние поступают на цифровой фильтр, осуществляющий предварительную обработку в соответствии с алгоритмом вида

y_k = a_k x_k + a_k-1 x_k-1 + a_k-2 x_k-2.

Исходные  данные приведены в таблицах 1, 2, 3.

Таблица 1

Таблица 2

Задание выполняется в виде отдельных  задач, логически взаимосвязанных между собой.

Задача 1

Непрерывное сообщение передается от источника  к получателю по дискретному каналу связи.

Требуется:

1 Изобразить  обобщенную структурную схему  системы связи для передачи  непрерывных сообщений дискретными  сигналами, привести подробное  описание назначения входящих в нее блоков. Преобразование сообщения и сигналов в системе связи проиллюстрировать (качественно) приведением временных и спектральных диаграмм для следующих точек тракта:

• на выходе источника непрерывного сообщения (сигнала);
• на входе преобразователя «аналог-цифра» (на выходе ФНЧ);
• дискретизированной последовательности (АИМ-сигнала, с учётом заданных значений U_max, F_в и k);
• на выходе АЦП (последовательность чисел, соответствующих отсчётам входного сигнала - для заданных U_max и n).

Опишите временные и спектральные диаграммы.

2 Найти  величину шага квантования ∆U_кв и дисперсию шума квантования σ²_кв.

Решение:

1. Обобщенная структурная схема системы связи приведена на рисунке 1.

Рис. 1. Обобщенная структурная схема системы передачи непрерывных сообщений дискретных сигналов

Сообщение от источника непрерывных сообщений  ИНС поступает на преобразователь  сигнала, который преобразует исходное сообщение ИС в первичный электрический сигнал ПЭС (U(t)). Спектр электрического сигнала U(t) перед дискретизацией подвергается ограничению до частоты F_В, фильтром нижних частот ФНЧ. Далее сигнал поступает на аналого-цифровой преобразователь АЦП, для преобразования непрерывного сигнала в цифровой сигнал.

Аналого-цифровое преобразование производится в три  этапа:

1. Непрерывный  сигнал представляется дискретными  отсчетами U(k∆t) через равные временные интервалы равные ∆t, с помощью амплитудно-импульсного модулятора АИМ.

Для получения  АИМ сигнала на входе модулятора подаются отсчетные импульсы ∆t от генератора отсчетных импульсов ГОИ.

2. Полученные  дискретные отсчеты U(k∆t)=U_АИМ(t) подвергаются квантованию по уровню. В место данного значения передаваемого сигнала U_АИМ(t) передаются ближайшие значения квантованных уровней, то есть приближенно округленных значений U_К.

3. Полученные  квантованные значения представляются  в виде последовательности m-значных  кодовых комбинаций, по средством  импульсно-кодовой модуляции ИКМ.  На практике уровни квантования представляются в двоичной системе счисления.

После аналого-цифрового преобразования цифровой сигнал поступает на кодер, в котором последовательность кодовых  символов дополнительно преобразуется, то есть в код вводится избыточность для улучшения помехоустойчивости. Далее сигнал поступает на устройство преобразования сигнала УПС (модулятор), в котором передаваемая последовательность двоичных импульсов преобразуется в радиоимпульсы. Из УПС сигнал поступает в линию связи, где по прохождению ослабляется и на него накладываются помехи от источников помех. На приемном конце в УПС (демодуляторе), происходит регенерация сигнала и обратные преобразования, из радиоимпульсов в последовательность двоичных импульсов.

В декодере восстанавливается, из принятого сигнала, m-значная кодовая последовательность, равная квантованным уровням.

Полученная  кодовая последовательность подвергается цифро-аналоговому преобразованию ЦАП, то есть восстанавливается непрерывное  сообщение в соответствии с принятыми  последовательностями кодовых комбинаций.

ЦАП производится в два этапа:

1. Кодовые  комбинации преобразуются в квантованную  последовательность отсчетов.

2. Сглаживающий  фильтр ФНЧ восстанавливает непрерывный  сигнал.

Далее восстановленный первичный электрический  сигнал преобразуется в исходное сообщение, которое доставляется получателю непрерывного сообщения. Временные и спектральные диаграммы для точек указанных в задании приведены на рисунках 2-4.

Рис. 2. Временная и спектральная диаграммы сигнала на выходе источника непрерывного сообщения

Исходный  сигнал U(t) имеет произвольную форму  и бесконечный спектр. Необходимо в соответствии с теоремой Котельникова ограничить спектр исходного сигнала  частотой F_В.

Рис. 3. Временная и спектральная диаграммы сигнала на выходе ФНЧ

ФНЧ сглаживает исходный сигнал и ограничивает спектр исходного сигнала, это ограничения  вносит минимальные потери сигнала, так как в полученном спектре сосредоточено 90-95% мощности исходного сигнала.

Рис. 4. Временная и спектральная диаграммы сигнала на выходе АИМ

На вход АИМ с ГОН поступают отсчетные импульсы с интервалом ∆t=1/2F_Bk=1/2·13·10³·2,5=1,54·10^-5 c и спектром, расположенным на частоте дискретизации f_Д =2F_Вk=2·13·10³·2,5=65 кГц.

Временная диаграмма АИМ сигнала представляет собой последовательность отсчетов взятых через интервал времени ∆t=1/2F_Bk (дискретизация осуществляется с интервалом в k раз меньше, по сравнению с шагом дискретизации, определенным теоремой Котельникова).

Спектральная  диаграмма АИМ сигнала содержит ограниченный спектр исходного сигнала  и спектры прямоугольных импульсов, поступающих с генератора отсчетных импульсов ГОИ, на дискретизатор (верхнии и нижнии боковые полосы на частотах f_Д и 2f_Д).

На выходе АЦП.

Каждый  отсчет представляется m-значным кодом  в двоичной системе счисления. Произведем ИКМ над отсчетами равным U_MAX. Для этого необходимо рассчитать шаг квантования.

2. Определим шаг квантования для U_MAX=13 В.

∆U_KB=U_MAX/N= U_MAX/2ⁿ, где N=2ⁿ - количество уровней квантования.

∆U_KB=13/2⁶=0,203 B.

Дисперсия шага квантования:

σ²_кв=∆U_КВ²/12;

σ²_кв=0,203²/12=0,0034=3,4·10^-3 В².

Для того чтобы закодировать уровень 13 В с шагом квантования 0,203 В потребуется 7-ми разрядный двоичный код. Закодируем 64-ый уровень квантования, так как N=2ⁿ=2⁶=64, U_К=U₆₄=1000000.

Рис. 5. Временная диаграмма для 64-го квантованного отсчета

Спектр S(t) имеет в общем случае сложную форму.

 

Задача 2

В предположении, что сигнал сообщения имеет гармоническую  форму частоты F_в и амплитуды U_max (см. таблицу 2), требуется:

1 Изобразить  временные диаграммы исходного  сигнала (2, 3 периода) и дискретизированной  последовательности для него  при условии, что дискретизация  отсчётами производится с интервалом, в k раз меньшим по сравнению с шагом дискретизации, определяемым теоремой Котельникова (см. таблицу 2).

2 Изобразить  спектральные диаграммы исходного  сигнала и дискретизированной  последовательности.

3 Описать  (с обоснованием) вид графиков  временных и спектральных диаграмм  на основе соответствующих теоретических  положений.

Решение:

1. Исходный  гармонический сигнал имеет вид:

U(t)=U_mcos2πF_Bt;

U(t)=15·cos2π·13·10³·t=15·cos(81,64·10³t), B. с периодом равным:

Т=1/F_В=1/(13·10³)=7,7·10^-5=0,077 мс.

Найдем  нули U(t):

cos2πF_Bt=0

2πF_Bt=π/2, тогда t=(π/2)/2πF_B=1/4F_B; t=1/4·13·10³=0,019 мс

На рисунку 6 изображена временная диаграмма исходного сигнала.

Рис. 6. Временная диаграмма исходного гармонического сигнала

Для получения  АИМ сигнала рассчитаем шаг дискретизации: