Моделирование для решения экономических задач

    Задание 1.

    В каждом варианте приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

     Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6;  α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков  по d-критерию (критические значения d₁= l,10 и d₂=1,37)  и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение.

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3, α2=0,6, α3=0,3

Будем считать, что зависимость между  компонентами тренд-сезонный временный  ряд мультипликативная. Мультипликативная  модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет вид:

(1)   

,

где κ – период упреждения;

    Yp(t) – расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

    a(t), b(t) и F(t) – коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

      F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

    L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных L=12) 

    Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

(2)   

,

(3)   

,

(4)   

.

    Из  формул 1-4 видно, что для расчета  a(1), b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (т.е. для t=1-1=0).

    Для оценки начальных значений а(0) и  b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из таблицы. Линейная модель имеет вид:

(5)   

(6)   

(7)   

(8)   

(9)   

отсюда:

=1/8*(41+52+62+40+44+56+68+41)=50,5

=1/8*(1+2+3+4+5+6+7+8)=4,5

Найдем  данные для расчета a(0) и b(0):

=33/42=0,79

=50,5-0,79*4,5=46,96

Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов  имеет вид:

Из этого  уравнения находим расчетные  значения Yp(t):

Сопоставим  расчетные значения Yp(t) с фактическими значениями для оценки приближенных значений коэффициентов сезонности I-IV кварталов:

F(-3)=[Y(1)/Yp(1)+Y(5)/Yp(5)]/2=(41/47,75+44/50,91)=0,8615

F(-2)=[Y(2)/Yp(2)+Y(6)/Yp(6)]/2=(52/48,54+56/51,7)=1,0772

F(-1)=[Y(3)/Yp(3)+Y(7)/Yp(7)]/2=(62/49,33+68/52,49)=1,2762

F(0)=[Y(4)/Yp(4)+Y(8)/Yp(8)]/2=(40/50,12+41/53,28)=0,7838

     Оценив  значения а(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1 - 4.

     Из  условия задачи имеем параметры сглаживания a₁=0,3; a₂=0,6; a₃=0,3. Рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t=l.

    Из  уравнения 1, полагая, что t=0, k=1, находим Y_р(1):

=Y(0+1)=[a(0)+k*b(0)]*F(0+1-4) =(46,96+1*0,79)*0.8615=41,14.

Из уравнений 2-4, полагая, что t=1, находим:

=a(1)=α1*Y(1)/F(1-4)+(1- α1)*[a(1-1)+b(1-1)]=0,3*41/0,8615+(1-0,3)*[46,96+0,79]=47,7

=b(1)=α3*[a(1)-a(0)]+(1-α3)*b(0) =0,3*(47,7-46,96)+(1-0,3)*0,79=0,78

=F(1)=α2*Y(1)/a(1)+(1-α2)*F(1-4)= =0,6*41/47,7+(1-0,6)*0,8615=0,8606

    Продолжая аналогично для t=2,3,4,5,…,16, строим модель Хольта-Уинтерса.

2. Оценить точность построенной  модели с использованием средней относительной  ошибки аппроксимации.

Суммарное значение относительных погрешностей составляет 20,76, что дает среднюю величину равную 1,30%.

1,30%<5%, следовательно, условие точности выполнено.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

Общее число поворотных точек р=8

Рассчитаем  значение q:

Количество  поворотных точек р больше q (8>6), следовательно, условие случайности уровней выполнено.

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁= l,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32

2,27>2, следовательно, имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае, необходимо уточнить величину d:

4-2,27=1,73

2>d>d2 (2>1,73>1,37), следовательно, уровни ряда остатков являются независимыми.

 (│-0,28│<0,32), значит, уровни независимы.