Вариант 9

Министерство  образования и науки РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО ВСЕРОССИЙСКИЙ  ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ       Контрольная работа   По дисциплине: «Финансовая математика» «Вариант 9»                                                          Подготовила Гаспарян  Г.В.                                                          Факультет: финансово-кредитный               Курс IV                          Группа: вечер                                                       № личного дела: 08ФФД11569                                                    Преподаватель: Князева И.В.   Калуга - 2011

 

Задание 1

    Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года ( всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

    Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольстена-Уинтера с учётом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания
2. Оценить точность построенной мадели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней  ряда остатков по d-критерию (критические значения ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;

- нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями  от 3 до 4,21.

4) построить точечный  прогноз на 4 шага вперёд, т.е. на 1 год

5) Отразить на графике  фактические, расчётные и прогнозные  данные.

 

Таблица 1.1.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	41	52	62	40	44	56	68	41	47	60	71	44	52	64	77	47

 

 Решение:

1.  Построение  адаптивной модели Хольта – Уинтерса.

    Будем считать, что зависимость между компонентами тренд ─ сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольтена-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

(1.1.1)

 

    где k – упреждения;

    (t) – расчётное значение экономического показателя для t-го периода;

    a(t), b(t) и F(t) – коэффициенты модели; адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

    F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

    L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).

    Таким образом,  если по формуле (1.1.1) рассчитывается  значение экономического показателя, например за второй квартал,  то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

    Уточнение (адаптация  к новому значению параметра  времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

    a(t)=a1*Y(t)/F(t-L)+(1-a1)*[a(t-1)+b(t-1)]                                               1.1.2

    b(t)=a3*[a(t)-a(t-1)]+(1-a3)*b(t-1);                                                          1.1.3

    F(t)=a2*Y(t)/a(t)+(1-a2)*F(t-L)                                                               1.1.4

    Параметры сглаживания a1,a2 и a3 подбирают путём перебора с таким расчётом, чтобы расчётные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

    Из формул 1.1.1 –  1.1.4 видно, что для расчёта a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. t=1-1=0). Значения a(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвёртого квартала год, предшествующего коэффициентов для четвёртого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в таблице 1.1.

    Для оценки  начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 элементам Y(t) из таблицы 1.1. Линейная модель имеет вид:

(t) = a(0)+b(0)*t .                                         1.1.5

    Из этого уравнения находим расчетные значения  Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями.

    МНК даёт возможность  определить коэффициенты линейного  уравнения a(0) и b(0) по формулам 1.1.6 – 1.1.9.

    Применяя линейную  модель к первым 8 значениям ряда  из таблицы 1.1 (т.е. к данным  за первые 2 года), находим значения  a(0); b(0).

                                                                                                                    1.1.6

 

1.1.7

a(0)=

 

1.1.8

 

1.1.9

 

Таблица 1.2.

Сопоставление фактических  данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	41	52	62	40	44	56	68	41
	47,79	48,58	49,37	50,16	50,95	51,74	52,53	53,32

 

1. Yр(t) =a(0)+b(0)xt=47+0,79x1=47,79
2. Yр(t)=47+0,79*2=48,58
3. Yр(t)=47+0,79*3=48,37
4. Yр(t)=47+0,79*4=50,16
5. Yр(t)=47+0,79*5=50,95
6. Yр(t)=47+0,79*6=51,74
7. Yр(t)=47+0,79*7=52,53
8. Yр(t)=47+0,79*8=53,32

     Такое сопоставление  позволяет оценить приближенные  значения коэффициентов сезонности 1 – 4 кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта – Уинтерса.

    Коэффициент сезонности  есть отношение фактического  значения экономического показателя  к значению, рассчитанному по  линейной модели. Поэтому в качестве  оценки коэффициента сезонности 1 квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) 1 квартала первого года, равное Y(1)/Yp(1), и такое же отношение для 1 квартала второго года, равное Y(5)/Yp(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

F(-3)=[Y(1)/Yр(1)+Y(5)/Y(5)]/2=[41/47,79+44/50,95]/2=[0,8579+0,8636]/2= 0,8608

F(-2)=[Y(2)/Yр(2)+Y(6)/Y(6)]/2=[52/48,58+56/51,74]/2=[1,0704+1,0823]/2= 1,0764

F(-1)=[Y(3)/Yр(3)+Y(7)/Y(7)]/2=[62/49,37+68/52,53]/2=[1,2558+1,2945]/2=1,2752

F(0)=[Y(4)/Yр(4)+Y(8)/Y(8)]/2  =[40/50,16+41/53,32]/2=[0,7974+0,7689]/2=0,7832

    Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

    Из уравнения   1.1.1, при условии, что t=0, k=1, находим (1):

    Yр(0+1)= Yр(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=[a(0)+1*b(0)]*F(-3)=[47+1*0,79]*0,8608= =41,14

    из уравнений (1.1.2 – 1.1.4) пологая что t=1, R=1 находим:

    a(1) = ₁*Y(1)/F(-3)+(1- ₁)*[a(0)+b(0)]=0,3*41/0,8608+(1-0,3) * *(47+0,79) =14,2890+33,453=47,74

    b(1) = ₃*[a(1)–a(0)]+(1- ₃)*b(0)=0,3*(47,74-47)+(1-0,3)*0,79= =0,222+0,553= =0,78

    F(1) = ₂*Y(1)/a(1)+(1- ₂)*F(-3)=0,6*41/47,74+(1-0,6)*0,8608= =0,5153+ +0,3443=0,8596;

Для t=2

    Yр (2)=[a(1)+1*b(1)]*F0(-2)=(47,74+1*0,78)*1,0764=52,23

    a(2) = _1*Y(2)/F(-2)+(1- ₁)*[a(1)+b(1)]=0,3*52/1,0764+(1-0,3)* *(47,74+0,78) =14,4928+33,964=48,46

    b(2)=a3*[a(2)-a(1)]+(1-a3)*b(1)=0,3*(48,46-47,74)+(1-0,3)*0,78=0,216+ +0,546=0,76

F(2) = ₂*Y(2)/a(2)+(1- ₂)*F(-2)=0,6*52/48,46+(1-0,6)*1,0764=0,6438+ +0,4306=1,0744;

Для t=3

    Yр (3)=[a(2)+1*b(2)]*F0(-1)=[48,46+1*0,76]*1,2752=62,77

    a(3) = ₁*Y(3)/F(-1)+(1- ₁)*[a(2)+b(2)]=0,3*62/1,2752+(1-0,3)* *(48,46+0,76) =14,5859+34,454=49,04

b(3)= ₃*[a(3)–a(2)]+(1- ₃)*b(2)=0,3*(49,04-48,46)+(1-0,3)*0,76=0,174+ +0,532=0,71

   F(3)= ₂*Y(3)/a(3)+(1- ₂)*F(-1)=0,6*62/49,04+(1-0,6)*1,2752=0,7586+ +0,51=1,2386;

Для t=4

    Yр (4)=[a(3)+1*b(3)]*F(0)=(49,04+1*0,71)*0,7832=38,96

    a(4) = ₁*Y(4)/F(0)+(1- ₁)*[a(3)+b(3)]=0,3*40/0,7832+(1-0,3)*(49,04+0,71)= =15,3218+34,825=50,15

    b(4) = ₃*[a(4)–a(3)]+(1- ₃)*b(3)=0,3*(50,15-49,04)+(1-0,3)*0,71=0,333+ +0,497=0,83

    F(4)= ₂*Y(4)/a(4)+(1- ₂)*F(0)=0,6*40/50,15+(1-0,6)*0,7832=0,4786+ +0,3133=0,7919;

Для t=5

    Yр (5)=[a(4)+1*b(4)]*F(1)=(50,15+1*0,83)*0,8596=43,82;

    a(5)= ₁*Y(5)/F(1)+(1- ₁)*[a(4)+b(4)]=0,3*44/0,8596+(1-0,3)*(50,15+ +0,83) =15,3560+35,686=51,04;

   b(5)= ₃*[a(5)–a(4)]+(1- ₃)*b(4)=0,3*(51,04-50,15)+(1-0,3)*0,83= =0,267+0,581= =0,85;

F(5)= ₂*Y(5)/a(5)+(1- ₂)*F(1)=0,6*44/51,04+(1-0,6)*0,8596= =0,5172+0,3438=0,861.

Для t=6

Y_p (6)=[a(5)+1*b(5)]*F(2)=(51,04+1*0,85) *1,0744=55,75;

    a(6)= ₁*Y(6)/F(2)+(1- ₁)*[a(5)+b(5)]=0,3*56/1,0744+(1-0,3)* *(51,04+0,85)=15,6366+36,323=51,96;

    b(6) = ₃*[a(6)–a(5)]+(1- ₃)*b(5)=0,3*(51,96-51,04)+(1-0,3)*

*0,85=0,276+0,595=0,87;

    F(6)= ₂*Y(6)/a(6)+(1- ₂)*F(2)=0,6*56/51,96+(1-0,6)*1,0744= =0,6467+0,4298=1,0765.

Для t=7

    Y_p (7)=[a(6)+1*b(6)]*F(3)=(51,96+1*0,87)*1,2686=67,02;

    a(7)= ₁*Y(7)/F(3)+(1- ₁)*[a(6)+b(6)]=0,3*68/1,2686+(1-0,3)* *(51,96+0,87) =16,0807+36,981=53,06;

    b(7)= ₃*[a(7)–a(6)]+(1- ₃)*b(6)=0,3*(53,06-51,96)+(1-0,3)*0,87= =1,1+0,609=1,71;

    F(7)= ₂*Y(7)/a(7)+(1- ₂)*F(3)=0,6*68/53,06+(1-0,6)*1,2686= =0,7689+0,5074=1,2763.

Для t=8

    Y_p (8)=[a(7)+1*b(7)]*F(4)=(53,06+1*1,71)*0,7919=43,37;

    a(8)= ₁*Y(8)/F(4)+(1- ₁)*[a(7)+b(7)]=0,3*41/0,7919+(1-0,3)* *(53,06+1,71)=15,5323+38,339=53,87;

    b(8)= ₃*[a(8)–a(7)]+(1- ₃)*b(7)=0,3*(53,87-53,06)+(1-0,3)×1,71= =0,81+1,197=2,01;

F(8)= ₂*Y(8)/a(8)+(1- ₂)*F(4)=0,6*41/53,87+(1-0,6)*0,7919= =0,4567+0,3168=0,7735.

Для t=9

Y_p (9)=[a(8)+1*b(8)]*F(5)=(53,87+1*2,01)*0,861=48,11;

    a(9)= ₁*Y(9)/F(5)+(1- ₁)*[a(8)+b(8)]=0,3*47/0,861+(1-0,3)* *(53,87+2,01)=16,3763+39,116=55,49;

    b(9)= ₃*[a(9)–a(8)]+(1- ₃)*b(8)=0,3*(55,49-53,87)+(1-0,3)*2,01= =0,486+1,407=1,89;

    F(9)= ₂*Y(9)/a(9)+(1- ₂)*F(5)=0,6×47/55,49+(1-0,6)*0,861= =0,5082+0,3444=0,8526.

Для t=10

    Y_p (10)=[a(9)+1*b(9)]*F(6)=(55,49+1*1,89)*1,0765=61,77;

    a(10)= ₁*Y(10)/F(6)+(1- ₁)*[a(9)+b(9)]=0,3*60/1,0765+(1-0,3)*

*(55,49+1,89)=16,7209+40,166=56,89;

    b(10)= _3*[a(10)–a(9)]+(1- ₃)*b(9)=0,3*(56,89-55,49)+(1-0,3)* *1,89=0,42+1,323=1,74;

    F(10)= ₂*Y(10)/a(10)+(1- ₂)*F(6)=0,6×60/56,89+(1-0,6)*1,0765= =0,6328+0,4306=1,0634.

Для t=11

    Y_p (11)=[a(10)+1*b(10)] *F(7)=(56,89+1*1,74)*1,2763=74,83;

   a(11)= ₁*Y(11)/F(7)+(1- ₁)*[a(10)+b(10)]=0,3*71/1,2765+(1-0,3)* *( 49,73+0,88) =14,97+35,43=50,40;

   b(11)= ₃*[a(11)–a(10)]+(1- ₃)*b(10)=0,3*(57,73-56,89)+(1-0,3)* *1,74 =0,252+1,218=1,47;

   F(11)= ₂*Y(11)/a(11)+(1- ₂)*F(7)=0,6×71/57,73+(1-0,6)*1,2763= =0,7379+0,5105=1,2484.

Для t=12

    Y_p (12)=[a(11)+1*b(11)]*F(8)=(57,73+1*1,47)*0,7735=45,79;

   a(12)= ₁*Y(12)/F(8)+(1- ₁)*[a(11)+b(11)]=0,3*44/0,7735+(1-0,3)* *(57,73+1,47)=17,0653+41,44=58,51;

    b(12)= ₃*[a(12)–a(11)]+(1- ₃)*b(11)=0,3*(58,51-57,73)+(1-0,3)* *1,47=0,234+1,029=1,26;

    F(12)= ₂*Y(12)/a(12)+(1- ₂)*F(8)=0,6*44/58,51+(1-0,6)*0,7735= =0,4512+0,3094=0,7605.

Для t=13

    Y_p (13)=[a(12)+1*b(12)]*F(9)=(58,51+1*1,26)*0,8526=50,96;

   a(13)= ₁*Y(13)/F(9)+(1- ₁)*[a(12)+(12)]=0,3*52/0,8526+(1-0,3)*   58,51+1,26)=18,297+41,839=60,14;

   b(13)= ₃*[a(13)–a(12)]+(1- ₃)*b(12)=0,3*(60,14-58,51)+(1-0,3)* *1,26 =0,483+0,882=1,37;

    F(13)= ₂*Y(13)/a(13)+(1- ₂)*F(9)=0,6*52/60,14+(1-0,6)*0,8526= =0,5188+0,341=0,8598.

Для t=14

    Y_p (14)=[a(13)+1*b(13)] *F(10)=(60,14+1*1,37)*1,0634=65,41;

 a(14)= ₁*Y(14)/F(10)+(1- ₁)*[a(13)+b(13)]=0,3*64/1,0634+(1-0,3)* *(60,14+1,37) =18,0553+43,057=61,11;

   b(14)= ₃*[a(14)–a(13)]+(1- ₃)*b(13)=0,3*(61,11-60,14)+(1-0,3)* *1,37=0,291+0,959=1,25;

    F(14)= ₂*Y(14)/a(14)+(1- ₂)*F(10)=0,6*64/61,11+(1-0,6)*

*1,0634 =0,6284+0,4254=1,0538.

Для t=15

    Y_p (15)=[a(14)+1*b(14)]*F(11)=(61,11+1*1,25)*1,2484=77,85;

 a(15)= ₁*Y(15)/F(11)+(1- ₁)*[a(14)+b(14)]=0,3*77/1,2484+(1-0,3)* *(61,11+1,25)=18,5037+43,652=62,16;

  b(15)= ₃*[a(15)–a(14)]+(1- ₃)*b(14)=0,3*(62,16-61,11)+(1-0,3)* *1,25 =0,315+0,875=1,19;

   F(15)= _2*Y(15)/a(15)+(1- ₂)*F(11)=0,6×77/62,16+(1-0,6)*1,2484= =0,7432+0,4994=1,2426.