Построения одной линейкой

4x³ – 3x – cos = 0.

В частности, если  = 60 получаем уравнение 8x³ – 6x – 1 = 0, которое заменой 2x на y можно привести к виду y³ – 3y – 1 = 0.  
    Таким образом, ответ на вопрос о возможности деления угла в 60 на три равные части сводится к  вопросу о возможности выражения действительного корня этого уравнения с помощью квадратичных операций, применяемых к числу 1.  
    Эти две задачи приводят к необходимости исследования корней кубического уравнения.  
   

  Теорема 2. Если уравнение x³ + px² + qx + r = 0 с коэффициентами из поля Q  не имеет корней в поле P. то оно не имеет корней и в его простом квадратичном расширении.  
     Доказательство. Пусть число a + b является корнем данного уравнения, где a, b, c принадлежат P,  не принадлежит P. Заметим, что a + b является корнем квадратного уравнения (x –(a + b ))(x – (a – b )) = 0, которое можно переписать в виде x² + Ax + B = 0, где A и B принадлежат P.  
    Разделим исходное уравнение на полученное квадратное уравнение с остатком. Получим равенство  x³ + px² + qx + r =( x² + Ax + B)(x + p – A) + Cx + D,

в котором все  коэффициенты принадлежат P. Так как число a + b является корнем кубического и квадратного уравнения то должно выполняться равенство C(a + b ) + D = 0, из которого следует, что a + b принадлежит P. Значит, b = 0 и a является корнем данного уравнения. Противоречие. 
    Следствие. Если уравнение x³ + px² + qx + r = 0 с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней, то его корни не выражаются с помощью квадратичных операций, применяемых к числу 1.  
    Заметим, что всякий рациональный корень уравнения x³ + px² + qx + r = 0 с целыми коэффициентами является целым числом и делителем свободного члена.  
    Действительно, пусть  (m и n взаимно просты) является корнем кубического уравнения. Тогда имеет место равенство

или m³ + pm²n + qmn² + rn³ = 0.  
    Из последнего равенства следует, что r  делится на m и m делится на n. Но m и n взаимно просты, значит n = 1.  
    Полученные выше уравнения x³ – 2 = 0 и y³ – 3y – 1 = 0, как легко видеть, не имеют рациональных корней и, следовательно, их корни не выражаются с помощью квадратичных операций. Поэтому, задачи об удвоении куба и трисекции угла неразрешимы.  
    Рассмотрим еще примеры неразрешимых задач на построение циркулем и линейкой.

 
    III. Задача о квадратуре круга состоит в построении квадрата, равновеликого данному кругу.  
    Она неразрешима с помощью циркуля и линейки, так как сводится к построению числа  , которое не только не выражается с помощью квадратичных операций, но является трансцендентным ( не алгебраическим) числом.  
    IV. Задача о построении правильных многоугольников, вписанных в единичную окружность.  
    Пусть дана окружность единичного радиуса. С помощью циркуля и линейки можно вписать в эту окружность правильные треугольник, шестиугольник и т. д. 3 2ⁿ-угольник (рис. 3).  
    Аналогично, в единичную окружность можно вписать правильные 2 2ⁿ-угольники (рис. 4), правильные 5 2ⁿ-угольники (рис. 5).

Полностью вопрос о возможности построений правильных многоугольников с помощью циркуля  и линейки был исследован Гауссом. А именно, он доказал, что правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n представимо в виде произведения степени двойки и различных простых чисел Ферма, т.е. простых чисел вида  . В частности, из этого следует, что правильный семиугольник нельзя построить циркулем и линейкой. Докажем это отдельно с использованием комплексных чисел.  
    Вершины правильного семиугольника в комплексной плоскости, вписанного в единичную окружность, являются корнями уравнения z⁷ - 1 = 0. Один из корней есть z = 1, а остальные удовлетворяют уравнению z⁶ + z⁵ + z⁴ + z³ + z² + z + 1 = 0. Деля на z³, получим уравнение

Простые алгебраические преобразования приводят  его к виду

Положив теперь z + 1/z=t, окончательно приходим к уравнению

t³ + t² - 2t - 1 = 0 (*).

Так как комплексное  число z представляется в виде z = cos + i sin , то 1/z = cos - i sin и, следовательно, t = 2cos является действительным числом.  
    Как легко видеть, уравнение (*) не имеет рациональных корней и, следовательно, его корни не выражаются с помощью квадратичных операций.  
   Таким образом, задача построения правильного семиугольника циркулем и линейкой неразрешима. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Общие аксиомы конструктивной геометрии. Аксиомы математических инструментов 

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называется конструктивной геометрией.

Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Это понятие  принимается без определения, конкретный его смысл известен из практики, где оно означает: начертить, провести (линию), отметить (точку). В интересах  логической строгости изложения основное понятие конструктивной геометрии - построить фигуру - характеризуется через основные требования (общие аксиомы конструктивной геометрии).

Эти требования обычно не формулируются в пределах школьного курса геометрии, но они  подразумеваются в процессе решения любой геометрической задачи на построение как нечто само собою разумеющееся. Общие аксиомы конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты многовековой чертежной практики и составляют логическую основу конструктивной геометрии.

Рассмотрим эти  общие аксиомы теории геометрии.

I. Каждая данная  фигура построена, т.е. если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то под этим подразумевается, что она уже изображена, начерчена, по-другому говоря, построена.

2. Если даны две фигуры, то построено:

а) их объединение

б) пересечение (если оно непустое)

в) разность (если она не равна пустому множеству)

3. Если дана  некоторая фигура, то можно построить  точку:

а) принадлежащую  данной фигуре

б) не принадлежащую  ей.

Замечание. Аксиомы За и 3б дают возможность построить новые точки, но этим точкам не приписывают никаких свойств. Для построения новых точек, обладающих определенными свойствами, пользуются математическими инструментами: линейкой, циркулем, углом и т.д. Свойства указанных математических инструментов описываются с помощью соответствующих аксиом. При этом следует четко видеть разницу между математическим инструментом конструктивной геометрии и их физическим олицетворением.

Аксиома линейки. Линейка (односторонняя) позволяет построить прямую, проходящую через две данные точки.

Аксиома циркуля. Циркуль позволяет построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным длине данного отрезка.

Аксиомы двусторонней линейки. Двусторонняя линейка позволяет: а) выполнить любое построение, выполнимое линейкой;

б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной  прямой, построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от нее  на расстоянии h, где h - фиксированный  элемент для данной двусторонней линейки (ширина);

в) если построены  две точки А и В, то установить, будет ли АВ > h, и если AB > h, то построить 2 пары параллельных прямых, проходящих соответственно через А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h , 

 
 
 
 
 
 

 

Аксиомы угла. Угол позволяет: а) сделать все построения, выполнимые линейкой; б) через данную точку плоскости провести под углом α к некоторой данной прямой; в) если построены отрезок АВ и фигура Ф, то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой отрезок АВ виден под углом α, и если такая существует, то построить ее.

4. Геометрические построения одной линейкой.

Геодезисты  в своей работе тесно связаны  с геометрическими построениями и измерениями, причём в практике геодезических работ приходится пользоваться почти исключительно проведением прямых линий.

  В связи с этим внимание математиков  ещё в XVII в. было привлечено к изучению геометрических построений, производимых исключительно линейкой. Такого рода построения рассматривал упоминавшийся уже нами Мор (в не дошедшей до нас книге „Euclides curiosus", о которой упоминается в переписке некоторых математиков того времени). Ряд задач на построение с линейкой рассматривали: И. Ламберт (в 1744), Бриан-шон (1783—1864), написавший книгу „Приложения теории трансверсалей" (1818), предназначенную для лиц, занимающихся землемерными работами, Понселе (1788—1867) в связи с его исследованиями по проективной геометрии.

  Наиболее  полные исследования в этой области  произведены швейцарским геометром Я. Штейнером (1796—1863), который изложил их в известном сочинении „Геометрические построения, производимые с помощью прямой линии и неподвижного круга" (1833).

    Пользуясь только линейкой, можно решить очень ограниченный круг геометрических задач на построение. Нельзя, например, пользуясь исключительно линейкой, разделить отрезок пополам или провести параллель к данной прямой. Однако эти задачи легко можно решить исключительно линейкой, если на плоскости дана некоторая вспомогательная фигура. Рассмотрим некоторые построения этого рода. Для этого нам понадобится одно вспомогательное предложение.

Лемма о трапеции:

  Прямая, соединяющая точку  пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолженных её боковых сторон, делит оба основания трапеции пополам. 

Доказательство. Пусть АВСD (рис. 225) —данная трапеция, АВ и СD — её основания, О — точка пересечения диагоналей, Р — точка пересечения продолженных боковых сторон, М и N—точки пересечения прямой ОР с основаниями трапеции. Из подобия треугольников АОМ и CОN следует, что АМ:СN=ОМ:ОN, а из подобия треугольников ВОМ и DОN следует, что ВМ : DN = ОМ : ОN. Из двух последних пропорций следует:

АМ*DN = СN*ВМ. (1)

Из  подобия  треугольников  АРМ  и DРN следует, что АМ : DN = РМ : РN, а из подобия   треугольников   ВРМ и СРN вытекает, что ВМ : СN = РМ : РN. Из этих двух пропорций заключаем, что

АM*СN=DN*ВМ. (2)

Из  соотношений (1) и (2) заключаем, что  АМ² = ВМ², откуда АМ = ВМ. Теперь уже не составляет труда убедиться, что DN = СN.

 
 

Решим теперь несколько  задач, пользуясь  исключительно линейкой.

Задача 1. Даны две параллельные прямые а и Ь и на одной из них, например а, отрезок АВ. Построить середину этого отрезка.

Решение:

Изберём произвольную точку Р, лежащую вне полосы, ограниченной заданными прямыми (рис. 226). Проведём прямые РА и РВ и отметим точки D и С их пересечения с прямой Ь. Пусть О — точка пересечения прямых АС и ВD. Тогда, согласно предыдущей лемме, прямая РО пересечёт отрезок АВ в его середине М.

Задача 2. Зная середину М данного отрезка АВ, провести через данную точку С прямую, параллельную АВ.

Решение:

  Изберём на прямой ВС, вне отрезка ВС, произвольную точку Р (рис. 227) и соединим эту точку с точками А и М. Пусть О — точка пересечения прямых РМ и АС, D — точка пересечения прямых АР и 0В. Тогда прямая СD искомая. Доказательство проводится на основании леммы о трапеции по методу „от противного". 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 3. Через центр данного параллелограмма провести прямую параллельно его стороне.