Пространство аффинной связности

Пространство  аффинной связности

  Мы  займемся вариантом геометрии, которую можно получить на базе данного n-мерного многообразия W_n. Именно, если вместо поля метрического тензора g_ij (М) внести в W_n поле объекта связности (М), то вместо римановой геометрии мы получим в W_n геометрию аффинной связности, превратив W_n в пространство аффинной связности L_n.

  Подобно тому как образцом для построения риманова пространства V_n служило у нас евклидово пространство R_n в криволинейных координатах, так теперь такую же роль будет играть аффинное пространство А_п тоже в криволинейных координатах. Определение объекта связности, которое было дано ранее для аффинного пространства, легко переносится на многообразие W_n.

  Если  в данной точке  М в W_n для каждой координатной системы х¹, область действия которой включает точку М, задана система чисел (М), преобразующихся при переходе от одной к другой координатной системе по закону

                 (1.1)

то  мы говорим, что в  точке М задан  объект связности. Все частные производные в (1.1) предполагаются вычисленными в точке М.

Пространством аффинной связности  L_n мы назовем многообразие W_n, в котором задано поле объекта связности

т. е. объект связности задан в каждой точке М, причем функции (1.2) N—2 раза непрерывно дифференцируемы*). При этом в отличие от объекта связности аффинного пространства, вообще говоря,

*) Здесь  N —класс многообразия W_n; при преобразовании (1.1) сохраняется (N — 2)-дифференцируемость (но не выше!). Правая часть (1.2) имеет смысл, разумеется, лишь в области действия каждой данной координатной системы хⁱ. 

Покажем прежде всего, что для задания  объекта связности (как мы будем  кратко называть поле объекта связности) в элементарном W_n достаточно произвольно задаться функциями (1.2) в одной какой-нибудь координатной системе хⁱ. Тогда в любой другой координатной системе х^i’ координаты объекта связности определятся по закону преобразования (1.1). Однако при этом объект связности еще нельзя считать построенным: нужно проверить, что закон преобразования (1.1) действует не только при переходе от хⁱ к х^i’, где хⁱ —начальная координатная система, но и при переходе от х^i’ к х^i”, где х^i’ , х^i”- любые координатные системы. Координаты объекта связности в системе х^i” выражаются аналогично (1.1): 

                 (1.3) 

Нам требуется проверить, следовательно, что, подвергая  преобразованию по тому же закону при переходе от х^i’ к х^i”, мы получим . Другими словами, требуется проверить, что выражение 

                            (1.4) 

дает  нам  . Для этого вставим сюда из (1.1) и рассмотрим сначала член, содержащий . Этот член в (1.1) имеет такой вид, как если бы подвергались тензорному закону преобразования при переходе от хⁱ к х^i’; при подстановке в (1.4) этот член еще раз подвергается тензорному закону преобразования при переходе от х^i’ к х^i”; в результате испытают преобразование по тензорному закону при переходе от хⁱ к х^i” (см. § 81, (81.3)), и мы получим:

                    (1.5)

Теперь  рассмотрим свободные от члены в (1.4) (после подстановки из (1.1)). Получаем (обозначая в первом члене индекс суммирования j' вместо k'):

Так как  во втором члене

а в  первом члене

то, вынося - за скобки, получаем:

               (1.6)

То, что  круглая скобка равна  , легко получить, дифференцируя х^к как сложную функцию от х^1”, . .., х^п” при промежуточных аргументах х^j’. В результате (1.4) состоит из членов (1.5) и (1.6), т. е. совпадает с правой частью (1.3) и дает, действительно . Проверка окончена.

     Закон преобразования (1.1) можно записать в несколько ином виде, удобном для некоторых выкладок. Умножаем (1.1) почленно на и суммируем по k'. Так как:

то получаем:

а после  суммирования по k получаем окончательно:

                  (1.7)

Заметим, что эта формула вполне эквивалентна закону преобразования (1.1), так как он из нее обратно следует. Достаточно умножить (1.7) почленно на (с суммированием по l) и учесть, что в левой части , чтобы вернуться к (1.1).

     Будет полезным записать формулу (1.7), поменяв ролями координаты xⁱ и x^i’. Получим:

                                                                (1.8)

Мы уже  отмечали, что, вообще говоря,

Обозначим:

         (1.9)

Величины  образуют тензор, что легко показать следующим образом. Перепишем (1.1), переставив между собой индексы i', j' и поменяв местами обозначения индексов суммирования i,j. Получим:

                                                          (1.10)

Вычитая это равенство почленно из (1.1) и пользуясь обозначением (1.9) как в старых, так и в новых координатах, получаем:

Свободные члены при вычитании уничтожились, и мы получили тензорный закон  преобразования для  . Тензор (М) называется тензором кручения данного пространства аффинной связности. Его геометрический смысл выяснится позже. Если тензор кручения равен нулю, т. е. если

то мы говорим, что нам дано пространство аффинной связности без кручения; обозначаем его L_n⁰ . Обращение в нуль тензора (как и всякого тензора) есть факт, инвариантный относительно преобразования координат хⁱ, а потому, если в одной координатной системе, то тоже имеет место и в любой другой.