Экономическая теория

      Эконометрика - наука, исследующая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике при помощи методов математической статистики. Основа этих методов - корреляционно-регрессионный анализ. Использование современных методов математической статистики началось в биологии. В последней четверти XIX века английский биолог К.Пирсон положил начало современной математической статистике изучением кривых распределения числовых характеристик человеческого организма. Затем он и его школа перешли к изучению корреляций в биологии и построению линейных функций регрессии.

      Первые  работы по эконометрике появились в  конце XIX - начале XX века. В 1897 г. появилась работа одного из основателей математической школы в экономической теории В.Парето, посвященная статистическому изучению доходов населения в разных странах. Была предложена кривая Парето , где х- величина дохода; у - численность лиц, имеющих доход, больший х; а - минимальный доход; А и α - параметры зависимости, получаемые статистическими методами.

      В самом начале XX века вышло несколько работ английского статистика Гукера, в которых он применил корреляционно-регрессионные методы, разработанные Пирсоном и его школой, для изучения взаимосвязей экономических показателей, в частности - влияния числа банкротств на товарной бирже на цену зерна. В работах Гукера содержалась идея временного лага между экономическими переменными, а также идея корреляционного анализа не самих величин, а их приращений. В дальнейшем появилось огромное число работ как по развитию теории математической статистики и ее прикладных элементов, так и по практическому приложению этих методов в экономическом анализе. К первой группе могут быть, например, отнесены работы Р.Фишера по дисперсионному анализу, ко второй - работы по оценке и исследованию производственных функций, в частности - классическая работа Кобба и Дугласа 1928 г.

    Эконометрические  модели и методы сейчас - это не только мощный инструментарий для получения новых знаний в экономике, но и широко применяемый аппарат для принятия практических решений в прогнозировании, банковском деле, бизнесе.

    Раздел  II. Производственные функции 

Тема 3. Однофакторные и многофакторные производственные функции

    Понятие производственной функции (ПФ) является основным в экономической теории. Оно используется для описания принципа «затраты-выпуск» на микро- и макроэкономических уровнях. Затрачиваются ресурсы производства - факторы производства (один или несколько) - в определенных количествах, выпускается продукция в определенном объеме. Формально производственная функция выглядит так:

                                                        (1)

    или

                                                         (2)

    где у - объем (количество) выпускаемой продукции; в (1) х - количество затрачиваемого (используемого) ресурса (т.е. х≥0), в (2) х₁, ..., х_n - количества затрачиваемых (используемых) ресурсов; вектор (х₁, ..., х_n) называется конфигурацией ресурсов, x₁≥0, ..., x_n≥0; a₁, ..., а_m - параметры; символ f, называемый характеристикой ПФ, показывает, как количество ресурса формально преобразуется в объем выпускаемой продукции.

    Производственная  функция (1) называется однофакторной (одноресурсной); ПФ используются для решения разнообразных аналитических, плановых и прогнозных задач и в прикладных исследованиях.

    Производственная  функция может иметь разные области  использования. Микроэкономическая производственная функция (МИПФ) имеет в качестве области использования (содержательной области) отдельную фирму, производственный комплекс, отрасль. Макроэкономическая производственная функция (МАПФ) имеет в качестве области использования национальную экономику, экономику региона. В МАПФ наряду с малыми f,  х₁, ..., х_n, у используют большие символы F, х₁, ..., х_n, Y:Y = F(х₁, ..., х_n; a₁, ..., а_m).

    В МИПФ количества затрачиваемых (используемых) ресурсов и объем выпускаемой продукции часто выражаются в натуральной форме: капитал - в штуках оборудования; труд - в часах затрачиваемого времени (возможно по различным видам трудовой деятельности); энергия - в киловатт-часах; материалы, комплектующие - в соответствующих единицах и т.п.

    В ПФ крупных отраслей, регионов и  национальной экономики количества затрачиваемых ресурсов и объемы выпускаемой продукции выражаются в стоимостной форме (как правило, в постоянных ценах).

    Выбор ресурсов и аналитической формы  ПФ y = f(х₁, ..., х_n) называется спецификацией ПФ.

    Преобразование  реальных и экспертных данных в модельную  информацию, т.е. расчет численных значений параметров a₁, ..., а_m ПФ y = f(х₁, ..., х_n, a₁, ..., а_m) на базе статистических данных с помощью регрессионного анализа называется параметризацией ПФ y = f(х₁, ..., х_n, a₁, ..., а_m).

    Проверка  адекватности ПФ описываемой ею реальности называется верификацией ПФ.

    Выбор аналитической формы ПФ y = f(х₁, ..., х_n, a₁, ..., а_m), (т.е. ее спецификация) диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны явно (или косвенно) учитывать особенности взаимосвязей между объемами конкретных ресурсов и выпускаемой продукции или экономических закономерностей, особенности реальных и экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ (т.е. особенности параметризации). На спецификацию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации. Оценки параметров ПФ обычно проводятся с помощью регрессионного анализа. Выбор более продвинутой в аналитическом отношении ПФ обычно предъявляет повышенные требования к ее параметризации, которые могут быть по существу невыполнимыми. Это означает, что продвинутая в аналитическом отношении ПФ, параметры которой сформированы на базе не удовлетворяющих высоким требованиям реальных и экспертных данных, может давать менее точные результаты расчетов, чем более простая в аналитическом отношении ПФ. Таким образом, в случае ПФ следует говорить о се комплексной адекватности, принимая во внимание рациональное сочетание уровня аналитических построений и качества информационного обеспечения.

    Производственная  функция y = f(х₁, ..., х_n, a₁, ..., а_m) называется статической, если ее параметры a₁, ..., а_m и сама ее характеристика f не зависят от времени, хотя объемы ресурсов и выпуска продукции могут зависеть от времени t, т.е. могут иметь представление в виде временных рядов Здесь t = 0,1, ..., Т - номер года; t = 0 - базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1,2, ..., T.

    Производственная  функция называется динамической, если, во-первых, время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного ресурса - фактора производства, влияющего на объем выпускаемой продукции); во-вторых, параметры a₁, ..., а_m и ее характеристика f зависят от времени t.

    В статических и динамических ПФ время  может быть как дискретным, так и непрерывным. В прикладных ПФ время, как правило, дискретное, и «атомом» времени (т.е. производственным периодом) является один год (квартал, месяц и т.п.). В этом случае объемы ресурсов x₁(t), …, x_n(t) и выпускаемой продукции у(t), а также параметры a₁(t), ..., а_m(t) «привязаны» к периоду времени t. В теоретических ПФ время t может быть как дискретным, так и непрерывным. Производственные функции с дискретным временем более адекватны реальности, однако ПФ с непрерывным временем более удобны для проведения теоретических исследований.

    Далее в основном будут рассматриваться  двухфакторные ПФ y = f(x₁, x₂; a₁, ..., а_m). Во-первых, при исследовании двухфакторных ПФ можно использовать наглядные геометрические соображения, ибо пространство ресурсов таких ПФ является двумерным. Во-вторых, основные положения теории двухфакторных ПФ по аналогии переносятся на многофакторные ПФ.

    Пример 1. Производственная функция вида является однофакторной. Здесь х - объем затрачиваемого (используемого) ресурса; у = f(x) - объем выпускаемой продукции. В качестве ресурса может фигурировать рабочее время, в качестве выпускаемой продукции - партия обуви. Величины a₀ и a₁ - параметры рассматриваемой ПФ. Параметры a₀ > 1 и a₁ > 0 и обычно a₁ ≤ 1. Таким образом, здесь n = 1, m = 2.

    Объемы  х и у, а также параметры a₀ и a₁ «привязаны» к некоторому фиксированному производственному периоду, который может равняться, например, одному году. Если производственный период меняется, то объемы х и у, а также значения параметров а₀ и a₁ могут измениться.

    График  T производственной функции изображен на рис. 1. Он показывает, что с ростом объема х затрачиваемого ресурса растет объем у выпускаемой продукции, однако каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема у выпускаемой продукции: f(x₁+1) - f(x₁) < f(x₀+1) - f(x₀), x₁>x₀. Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста объема у с ростом объема ресурса х) отражает важное положение экономической теории, хорошо подтверждаемое практикой, называемое законом убывающей эффективности.

    Рис. 1

    Пример 2. Линейная производственная функция (ЛПФ) имеет вид  у=a₀+a₁x₁+ a₂x₂ (двухфакторная) и   у=a₀+a₁x₁+…+ a_nx_n (многофакторная). Она принадлежит классу так называемых аддитивных ПФ. Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Обратный переход осуществляется с помощью операции потенцирования.

    Для двухфакторной мультипликативной  ПФ получаем аддитивную ПФ в следующей форме:

ln у = ln a₀ + a₁ ln x₁+ a₂ ln x₂.

    Полагая   ln у = w, ln x₁ = v₁, ln x₂ = v₂,  получим аддитивную ПФ такого вида:

w = ln a₀ + a₁v₁ + a₂v₂. 

Тема 4. Формальные свойства производственных функций

    Производственная  функция f(x₁, x₂) как формальная конструкция определена в неотрицательном ортанте двумерной плоскости, т.е. определена при x₁≥0, x₂≥0. Производственная функция должна удовлетворять ряду свойств (каждая конкретная ПФ своему):

    Свойство  1 означает, что без ресурсов нет выпуска.

    Свойство  2 означает, что при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска.

    Свойство  3 означает, что с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска (строго) растет.

    Свойство  4 (первая частная производная ПФ неотрицательна) означает, что с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса (других ресурсов) объем выпуска не уменьшается. Упорядоченная пара (х₁,х₂) чисел х₁ и х₂ для краткости здесь и далее обозначается символом х, т.е. х=(х₁ х₂) (х=(х₁, ..., х_n)).

    Свойство  5 (вторая частная производная ПФ неположительна) означает, что с ростом затрат одного (i-го) ресурса при неизменном количестве другого ресурса (других ресурсов) величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не возрастает (закон убывающей эффективности).

    Свойство  6 означает, что при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса не убывает (при неизменном количестве других ресурсов, если п > 2).

    На  основании свойства 7 геометрический образ ПФ при n = 2 должен прежде всего ассоциироваться с выпуклой вверх «горкой», крутизна которой убывает, если точка (х₁,х₂) уходит в плоскости 0х₁,х₂ «на северо-восток».