Теоретические основы использования систем счисления в процессе кодирования информации

      1.3.3 Перевод дробных  чисел из десятичной  системы счисления  в систему счисления  с основанием р и наоборот. 

      Чтобы перевести дробное число из десятичной системы счисления в другую, необходимо исходную десятичную дробь:

1. Умножить на основание новой системы счисления;
2. Отдельно выписать целую часть полученного числа;
3. Если дробная часть не равна нулю или не достигнута необходимая точность вычислений, то с дробной частью повторить пункты 1и 2.
4. Полученные целые части произведений составляют искомую дробь, в той последовательности, в которой они были получены.

      Например, переведём 0,625₁₀в двоичную систему счисления.

      0,625×2=1,25; целая часть = 1; дробная часть  = 0,25

      0,25×2 = 0,5; целая часть=0; дробная часть  =0,5

      0,5×2 = 1;целая часть = 1;дробная часть  = 0

      Составляем  двоичную дробь из целых частей сверху вниз: 0,101. Для проверки переведём  полученный ответ опять в десятичную систему счисления. 

      0  -1 -2  -3

      0,1 0 1

      0,1 0 1₂=1×2^-1+0×2^-2+1×2^-3=1×¹/₂+0×¹/₄+1×¹/₈=0,5+0+0,125=0,625₁₀

      Если  в исходном десятичном числе есть и целая, и дробная части, то отдельно надо перевести его целую часть  путём последовательного деления на основание новой системы счисления и отдельно дробную путём последовательного умножения на основание новой системы счисления. Затем записать оба результата через запятую.

      20,625₁₀=10100,101₂

      Многие  дробные рациональные десятичные числа  в десятичной системе счисления оказываются иррациональными, в таком случае нужно договориться о точности, с которой производится перевод. 

4. Связь между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной  системами счисления

      Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2(q = 2ⁿ), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 2¹), восьмеричной (q = 2³) и шестнадцатеричной (q = 2⁴) системами счисления.

      Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение:

      2 = 2^I. Так как 2 = 2¹, то I = 1 бит.

      Каждый  разряд двоичного числа содержит 1 бит информации.

        Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

      8 = 2^I. Так как 8 = 2³, то I = 3 бита.

      Каждый  разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

      Таким образом, для удобства перевода целого двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить его справа налево на группы по три цифры (самая левая группа может содержать меньше трёх двоичных чисел), а затем каждой группе поставить в соответствие её восьмеричный эквивалент.

      Пример

      Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

      16 = 2^I. Так как 16 = 2⁴, то I = 4 бита.

      Каждый  разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

      Таким образом, для перевода целого двоичного  числа в шестнадцатеричное его  нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная, справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырёх цифр, дополнить её слева нулями.

      Переведём целое двоичное число 101001₂ в шестнадцатеричное. Для этого необходимо разбить его на триады справа налево и определить значение каждой тройки цифр по таблице соответствий (Приложение 2, Таблица 1) В результате имеем: 101001₂ = 29₁₆

      Итак, группу из трёх двоичных цифр называют двоичной триадой, из четырёх  - двоичной тетрадой.

      Для упрощения перевода можно заранее  подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в  восьмеричные цифры (Приложение 1, Таблица 1) или таблицу преобразования двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр (Приложение 1, Таблица 2).

      Для перевода дробных частей двоичных чисел  в восьмеричную или шестнадцатеричную  системы счисления разбиение  на триады или тетрады производится от точки вправо (с дополнением недостающих последних цифр нулями).

      Например:

       0,110 001 110 1₂ = 0, 110 001 110 100₂ = 0,6154₈ 

       0,1100 0111 01₂ = 0,1100 0111 0100₂ = 0,С74₁₆ 

      Для того чтобы преобразовать любое  двоичное число в восьмеричную или  шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.

      Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной  систем счисления в двоичную.

      Для перевода чисел из восьмеричной и  шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трёх двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа – в группу из четырёх цифр (тетраду).

      Например, преобразуем дробное восьмеричное число 0,47₈ в двоичную систему счисления:

      0,47₈ = 0,100111_2.

      Числа в двоичной системе счисления занимают очень много места, и в процессе их написания человеку легко ошибиться. Но компьютер, напротив, понимает только двоичную систему счисления, при этом перевод из привычной человеку десятичной системы счисления занимает время. Поэтому при работе с компьютером часто используют промежуточный вариант, а именно восьмеричные или шестнадцатеричные системы счисления. Например, для адресации памяти, вызова символа по коду и т.д. Числа в таких системах короче, чем двоичные, а в шестнадцатеричной системе даже короче, чем десятичные. При этом, перевод чисел из/в двоичной системы счисления в/из систему счисления с основанием, равным степени двойки, производится очень просто. Для этого не надо производить никаких вычислений, достаточно воспользоваться таблицей соответствий (Приложение 2, Таблица 1).

      Перевод из десятичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления производится по таблицам соответствия (Приложение 2, Таблица 1,) в обратную сторону.

      В шестнадцатеричном числе 15F заменяем каждую цифру на соответствующее двоичное число в таблице соответствий (Приложение 1, Таблица 2):

        1        5      F

      0001 0101 1111

      Это и есть искомое двоичное число. Записываем его без пробелов и незначащих нулей (нулей слева).

      15F₁₆ = 101011111₂

      Аналогично  поступают с восьмеричными числами. Находим каждой цифре двоичное соответствие по таблице соответствий:

         5    3      7

      101 011 111

      Записываем  полученную последовательность двоичных цифр без пробелов: 101011111.

      В итоге, 537₈ = 101011111₂.

      Перевод из восьмеричной системы счисления  в шестнадцатеричную и обратно.

      Для того, чтобы перевести число из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления, надо перевести число из восьмеричной системы в двоичную, а затем из двоичной в шестнадцатеричную.

      Пример:

       Перевести 537₈ х₁₆

1. Воспользуемся таблицей соответствий. (Приложение 1,Таблица 1)

  5     3     7

      101 011 111

2. Переписываем двоичное число и разделяем его на группы по четыре цифры справа налево:

       101011111₂ 1 0101 111₂

1. Дополняем слева нулями до четырёх цифр в левом числе:  

      1 0101 1111→ 0001 0101 1111

      4. Определяем по таблице соответствий  шестнадцатеричный код числа (Приложение 1, Таблица 2).

      0001 0101 1111

         1       5       F

      5. Ответ: 537₈ = 15F₁₆

      Для обратного перевода, из шестнадцатеричной  системы счисления в восьмеричную, надо проделать те же действия в  обратном порядке: перевести число  из шестнадцатеричной в двоичную систему, а затем также по таблице в восьмеричную. 

      1.3.5. Выполнение арифметических действий 

      В позиционных системах счисления  правый разряд числа называется младшим  разрядом, а тот, что левее –  старшим. Например, в десятичной системе счисления разряд десятков будет младшим для разряда сотен и старшим для разряда единиц [13,60].

      Правила арифметики во всех позиционных системах счисления  одни и те же. Во всех них  делить на нуль нельзя, деление числа  на единицу дает само это число, умножение на нуль дает нуль, умножение числа на единицу дает само число, прибавление нуля тоже не меняет число. При прибавлении единицы число увеличивается на единицу. Надо только помнить, какая цифра самая большая в данной системе счисления. Например, если мы имеем дело с троичной системой счисления, то цифр всего три: нуль, один, два. Значит, при всех вычислениях самая большая цифра, которая может появиться в каком-либо разряде – 2. Если разряд переполняется, то лишнее надо перенести в старший разряд. Например, в десятичной арифметике, если прибавлять всё время по единице, т, когда в крайнем справа разряде появляется 9 и мы прибавляет ещё единицу, надо записать в нем нуль и единицу в старшем разряде (левее). Точно так же и в любой другой системе счисления, когда разряд переполняется, т.е. цифр старше уже не существует, необходимо начать в данном разряде считать заново и отметить факт переполнения единицей в старшем разряде.

      При выполнении  арифметических операций нужно следить, чтобы числа, которые  в них участвуют, принадлежали одной  и той же системе счисления. Нельзя  просто сложить 10₃ и 10₁₀, так как 10₃ = 3₁₀ и при сложении с 10₁₀ даёт 13₁₀. Если даны числа в разных системах счисления и с ними надо произвести какие-либо арифметические действия, то надо перевести числа в одну систему, например, в десятичную, и только потом производить вычисления. Для выполнения арифметических действий в системах счисления необходимо воспользоваться таблицами сложения и умножения в различных системах счисления. ( Приложение 3).

      Вычитание большего числа из меньшего в двоичной системе:

      Способ 1.

      Первый  способ аналогичен привычному способу  вычитания в десятичной системе.

      Чтобы из меньшего числа вычесть большее, необходимо:

1. вычесть из большего меньшее;
2. переписать к результату знак «минус».

Пример

Вычислить 11-111:

1. 11-111 = 100
2. -100

Способ 2

Существует  возможность использовать при таком  вычитании сложение. Для этого необходимо: