Математическая логика

Формальную логику (возникшую еще в глубокой древности  в трудах Аристотеля) не отождествляют  с математической логикой (возникшей  в XIX в. в работах английского математика Дж. Буля). Предметом формальной логики является изучение законов взаимосвязи  суждений и понятий в умозаключениях и правилах доказательства. Математическая логика отличается от формальной логики тем, что она, исходя из основных законов  формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов: "Логические связи, которые существуют между  суждениями, понятиями и т. д., находят  свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие  легко могли бы возникнуть при  словесном выражении. Таким образом, для математической логики характерна формализация логических операций, полнее абстрагирование от конкретного  содержания предложений (выражающих какое-либо суждение).

Проиллюстрируем сказанное одним примером. Рассмотрим следующее умозаключение: "Если все  растения красные и все собаки - растения, то все собаки красные".

Каждое из используемых здесь суждений и то суждение, которое  мы получили в результате сдержанного  умозаключения, кажется явной бессмыслицей. Однако с точки зрения математической логики мы имеем здесь дело с верным предложением, так как в математической логике истинность или ложность умозаключения зависит только от истинности или ложности составляющих его посылок, а не от их конкретного содержания. Поэтому если одним из основных понятий формальной логики является суждение, то аналогичным ему понятием математической логики является понятие высказывания-утверждения, для которого имеет смысл лишь говорить, истинно оно или ложно. Не следует думать, что для каждого высказывания характерно отсутствие "здравого смысла" в его содержании. Просто содержательная часть предложения, составляющего то или иное высказывание, в математической логике отходит на второй план, несущественна для логического построения или анализа того или иного вывода. (Хотя, конечно существенна для понимания содержания того, о чем идет речь при рассмотрении  данного вопроса.)

Понятно, что  в самой математике рассматриваются  содержательные высказывания. Устанавливая различные связи и отношения  между понятиями, математические суждения утверждают или отрицают какие-либо отношения между объектами и  явлениями реальной действительности.

3.Математическая  логика и «Здравый  смысл» в XXI веке. 

Логика - не только сугубо математическая, но также и  философская наука. В XX веке эти две  взаимосвязанные ипостаси логики оказались  разведенными в разные стороны. С  одной стороны логика понимается как наука о законах правильного  мышления, а с другой - она преподносится  как совокупность слабо связанных  друг с другом искусственных языков, которые называются формальными  логическими системами.

Для многих очевидно, что мышление - это некий сложный  процесс, с помощью которого решаются житейские, научные или философские  проблемы и рождаются гениальные идеи или роковые заблуждения. Язык же понимается многими просто как  средство, с помощью которого результаты мышления можно передать современникам  или оставить потомкам. Но, связав в  своем сознании мышление с понятием "процесс", а язык с понятием "средство", мы, по сути, перестаем  замечать тот непреложный факт, что  в данном случае "средство" не подчинено полностью "процессу", а в зависимости от нашего целенаправленного  или неосознанного выбора тех  или словесных штампов оказывает  сильнейшее влияние на ход и результат  самого "процесса". Причем известно немало случаев, когда такое "обратное влияние" оказывается не только тормозом для правильного мышления, но порою  даже его разрушителем.

С философской  точки зрения задача, поставленная в рамках логического позитивизма, так и не была выполнена. В частности, в своих поздних исследованиях  один из основоположников этого направления  Людвиг Витгенштейн пришел к выводу, что естественный язык нельзя реформировать  в соответствии с разработанной  позитивистами программой. Даже язык математики в целом устоял перед  мощным напором "логицизма", хотя многие термины и структуры предлагаемого  позитивистами языка вошли в  некоторые разделы дискретной математики и существенно дополнили их. Популярность логического позитивизма как  философского направления во второй половине XX столетия заметно упала - многие философы пришли к выводу, что  отказ от многих "нелогичностей" естественного языка, попытка втиснуть его в рамки основополагающих принципов логического позитивизма  влечет за собой дегуманизацию процесса познания, а вместе с этим и дегуманизацию  человеческой культуры в целом.

Многие методы рассуждений, которые используются в естественном языке, часто весьма трудно однозначно отобразить на языке  математической логики. В некоторых  случаях такое отображение приводит к существенному искажению сути естественного рассуждения. И есть основание полагать, что эти проблемы являются следствием исходной методологической установки аналитической философии  и позитивизма о нелогичности естественного языка и о необходимости  его коренного реформирования. Сама исходная методологическая установка  позитивизма также не выдерживает  критики. Обвинять разговорный язык в нелогичности просто абсурдно. На самом деле нелогичность характеризует не сам язык, а многих пользователей этого языка, которые просто не знают или не хотят использовать логику и компенсируют этот изъян психологическими или риторическими приемами воздействия на публику, либо в своих рассуждениях используют в качестве логики систему, которая называется логикой лишь по недоразумению. В то же время имеется немало людей, речь которых отличается ясностью и логичностью, и эти качества не определяются знанием или незнанием основ математической логики.

4.Неестественная  логика в основаниях  математики 

В рассуждениях тех, кого можно отнести к законодателям  или последователям формального  языка математической логики, нередко  обнаруживается своеобразная "слепота" по отношению к элементарным логическим ошибкам. На эту слепоту в основополагающих работах Г. Кантора, Д. Гильберта, Б. Рассела, Дж. Пеано и др. еще в  начале нашего столетия обратил внимание один из великих математиков Анри Пуанкаре [2].

Одним из примеров такого нелогичного подхода к  рассуждениям является формулировка знаменитого  парадокса Рассела, в котором  необоснованно смешиваются два  сугубо разнородных понятия "элемент" и "множество". Во многих современных  работах по логике и математике, в которых заметно влияние  программы Гильберта, не находят  объяснения многие явно нелепые с  точки зрения естественной логики утверждения. Соотношение между "элементом" и "множеством" является простейшим примером такого рода. Во многих работах  этого направления утверждается, что некоторое множество (назовем  его A) может быть элементом другого  множества (назовем его B).

Например, в широко известном руководстве по математической логике [2] мы встретим такую фразу: "Множества  сами могут быть элементами множеств, так, например, множество всех множеств целых чисел имеет своими элементами множества". Заметим, что это утверждение не просто оговорка. Оно содержится в качестве "скрытой" аксиомы в формальной теории множеств, которую многие специалисты считают основанием современной математики, а также в формальной системе, которую построил математик К. Гедель при доказательстве своей знаменитой теоремы о неполноте формальных систем [2]. Эта теорема относится к довольно узкому классу формальных систем (в их число входят формальная теория множеств и формальная арифметика), логическая структура которых явно не соответствует логической структуре естественных рассуждений и обоснований.

Однако уже  более полувека она является предметом  бурного обсуждения среди логиков  и философов в контексте общей  теории познания. При таком широком  обобщении этой теоремы получается, что принципиально непознаваемыми являются многие элементарные понятия. Но при более трезвом подходе  оказывается, что теорема Геделя показала лишь несостоятельность программы  формального обоснования математики, предложенной Д. Гильбертом и подхваченной многими математиками, логиками и  философами. Более широкий методологический аспект теоремы Геделя вряд ли можно  считать приемлемым до тех пор, пока не получен ответ на следующий  вопрос: является ли программа обоснования  математики, предложенная Гильбертом, единственно возможной? Чтобы понять двусмысленность утверждения "множество A есть элемент множества B", достаточно задать простой вопрос: "Из каких  элементов в этом случае сформировано множество B?". С точки зрения естественной логики возможны лишь два исключающих друг друга варианта объяснения. Объяснение первое. Элементами множества B являются имена некоторых множеств и, в частности, имя или обозначение множества A. Например, множество всех четных чисел содержится как элемент в множестве всех имен (или обозначений) множеств, выделенных по каким-либо признакам из множества всех целых чисел. Можно привести более понятный пример: множество всех жирафов содержится как элемент в множестве всех известных видов животных. В более широком контексте множество B можно также сформировать из концептуальных определений множеств или ссылок на множества. Объяснение второе. Элементами множества B являются элементы некоторых других множеств и, в частности, все элементы множества A. Например, каждое четное число есть элемент множества всех целых чисел или каждый жираф есть элемент множества всех животных. Но тогда получается, что в обоих случаях выражение "множество A является элементом множества B" не имеет смысла. В первом случае оказывается, что элементом множества B является не само по себе множество A, а его имя (или обозначение, или ссылка на него). В этом случае неявно устанавливается отношение эквивалентности между множеством и его обозначением, что неприемлемо ни с точки зрения обычного здравого смысла, ни с точки зрения несовместимой с чрезмерным формализмом математической интуиции. Во втором случае оказывается, что множество A включено в множество B, т.е. является его подмножеством, но не элементом. Здесь тоже явная подмена понятий, поскольку отношение включения множеств и отношение принадлежности (быть элементом множества) в математике имеют принципиально различный смысл. Знаменитый парадокс Рассела, подорвавший доверие логиков к понятию "множество", основан на этой нелепости - в основе парадокса лежит двусмысленная предпосылка о том, что множество может быть элементом другого множества.

Возможен еще  один вариант объяснения. Пусть множество A задано простым перечислением его  элементов, например, A = {a, b}. Множество B в свою очередь задано перечислением  некоторых множеств, например, B = {{a, b}, {a, c}}. В данном случае кажется очевидным, что элементом B является не имя множества A, а само множество A. Но даже в этом случае элементы множества A не являются элементами множества B, и множество A здесь рассматривается как неразделимая совокупность, которая вполне может  быть заменена его именем. Но если бы мы считали элементами B все элементы содержащихся в нем множеств, то в этом случае множество B было бы равно  множеству {a, b, c}, и множество A в этом случае было бы не элементом B, а его  подмножеством. Таким образом, получается, что этот вариант объяснения в  зависимости от нашего выбора, сводится к ранее перечисленным вариантам. А если никакого варианта выбора не предложено, то получается элементарная двусмысленность, которая часто  приводит к "необъяснимым" парадоксам.

Можно было бы не уделять особого внимания этим терминологическим  нюансам, если бы не одно обстоятельство. Оказывается, что многие парадоксы и несообразности современной логики и дискретной математики являются прямым следствием или подражанием этой двусмысленности.

Например, в современных  математических рассуждениях часто  используется понятие "самоприменимость", которое лежит в основе парадокса  Рассела. В формулировке этого парадокса  под самоприменимостью подразумевается  существование множеств, которые  являются элементами самих себя. Такое  утверждение сразу же приводит к  парадоксу. Если мы рассмотрим множество  всех "несамоприменимых" множеств, то окажется, что оно является одновременно "самоприменимым" и "несамоприменимым.

Заключение 

Математическая  логика немало способствовала бурному  развитию информационных технологий в XX веке, но из ее поля зрения выпало понятие "суждение", которое появилось  в логике еще во времена Аристотеля и на котором, как на фундаменте, держится логическая основа естественного  языка. Такое упущение отнюдь не способствовало развитию логической культуры общества и у многих даже породило иллюзию, что компьютеры способны мыслить  не хуже самого человека. Многих даже не смущает то обстоятельство, что на фоне всеобщей компьютеризации в  преддверии третьего тысячелетия логические нелепости в пределах самой науки (я уж не говорю о политике, законотворческой деятельности и о псевдонауке) встречаются  даже чаще, чем в конце XIX века. И  для того, чтобы понять суть этих нелепостей, нет необходимости обращаться к сложным математическим структурам с многоместными отношениями  и рекурсивными функциями, которые  применяются в математической логике. Оказывается, для понимания и  анализа этих нелепостей вполне достаточно применить намного более простую  математическую структуру суждения, которая не только не противоречит математическим основам современной  логики, но в чем-то дополняет и  расширяет их.

Список  используемой литературы 

1. Васильев Н. А. Воображаемая логика. Избранные труды. - М.: Наука. 2009;

2. Кулик Б.А. Основные принципы философии здравого смысла (познавательный аспект) // Новости искусственного интеллекта, 2006;

3. Кулик Б.А. Логические основы здравого смысла / Под редакцией Д.А. Поспелова. - СПб, Политехника, 2007;

4. Кулик Б.А. Логика здравого смысла. - Здравый смысл, 2008;

5. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: Наука, 2009.

6. Соловьев А. Дискретная математика без формул. 2010// http://soloviev.nevod.ru/2010/dm/index.html

7. Математическая логика: Р. Л. Гудстейн — Москва, Либроком, 2010 г;

8. Введение в математическую логику: Э. Мендельсон — Москва, Либроком, 2010 г.