Языковая семантика

      B. Формулы со связанными переменными

      Закон транспозиции

      (p < q) < (q^/ < p^/)

      Modus ponendo ponens

      [(p ∙ (p < q)] < q

      Modus tollendo tollens

      [q^/  ∙ (p < q)] < p^/

      Modus tollendo ponens

      [p^/  ∙ (p + q)] < q

      Modus ponendo tollens

      [p ∙ (p^/ + q^/)] < q^/

      [p ∙ p|q] < q^/

      Редукция  к абсурду

      [(p < q) ∙ (p < q^/)] < p^/

      Формулы де Моргана

      (1) (p ∙ q) ^/ < (p^/ + q^/), (p ∙ q) ^/  = (p^/ + q^/)

      (2) (p + q^/) < (p^/  ∙ q^/), (p + q) ^/  = (p^/  ∙ q^/)

      Закон симплификации

      p ∙ q < p

      C. Формулы с тремя  переменными

      Сокращенный метод проверки при помощи матриц

      (p < q) < [(p ∙ r) < (p ∙ q)]

      Предположим, что существует единственный вариант, при котором формула могла  бы в результате вычислений формула  могла бы дать F.

      Данная  формула содержит импликацию, которая  дает F всегда, если консеквент ложен.

      Антецедент  формулы (p < q) является антецедентом.

      Консеквент  формулы [(p ∙ r) < (p ∙ q)] импликацией, которая может быть F, если (p ∙ q) – ложно, но (p ∙ r) – истинно.

      Поэтому вместо p мы должны поставитьV вместо r – V и вместо q – F, что соответствовало  бы истинности антецедента и ложности консеквента в данной составной импликации и давало бы в результате подстановки F.

      Таким образом, можно утверждать, что если в результате указанных подстановок  мы получим F, то формула вида (p < q) < [(p ∙ r) < (p ∙ q)] является неправильной, в противоположном случае следует принять ее V.

      (V<F) <[(V∙V) <(F∙V)]

      (V<F) <V<F)

        F<F

      V

      Закон составной транспозиции

      [(p∙q) <r]<[(p∙r^/) <q^/]

      Закон нового члена конъюнкции

      [p∙(q<r)]<[p∙(r^/ <q^/)]

      Закон коммутации

      [p<(q<r)]<[q <(r < p)]

      Закон экспортации

      [(p∙q)<r)]<[p∙( q < r)]

      Закон импортации

      [p<(q<r))]<[(p∙ q) < r)]

      Закон импортации и экспортации

      [(p∙ q) < r)] = [p<(q<r)]

      Закон соединения

      [(p< r) ∙ (q<r)]<[(p+q) < r)]

      Закон композиции

      [(p< q) ∙ (p<r)]<[p<(q∙r)]

      Закон дистрибутивности

      [(p ∙ (q+r)]<[(p∙q) + (p∙r)]

      Закон нового множителя

      (p < q) < [(p ∙ r) < (p ∙ q)]

      Закон нового слагаемого

      (p < q) < [(p < r) < (p + q)]

      Закон гипотетического силлогизма

      [(p < q) ∙ (q < r)] < (p < r)

      Безконъюнктивный  эквивалент гипотетического силлогизма

      (p < q) < [(q < r) < (p < r)]

      Формулы равносильности и их преобразования. Из данной формулы можно получить ее эквивалент путем замены какой-либо из составных ее функций высказывания правой стороной уже имеющейся формулы равносильности.

      Формулы равносильности. Если два высказывания могут быть получены из равносильных формул A и B, то их называют равнозначными, знак «<=>», читается «равносильно».

      Отношения равносильности: рефлексивно – A равносильно A; симметрично – если A равносильно B, то B равносильно A; транзитивно –  если A равносильно B и B равносильно C, то A равносильно C. На основании свойств равносильности можно определить свойства конъюнкции и дизъюнкции. Конъюнкция коммутативна, ассоциативна, дистрибутивна; дизъюнкция коммутативна, ассоциативна, дистрибутивна. Свойства равносильности для конъюнкции и дизъюнкции могут быть записаны в следующем виде:

      Рефлексивность формул конъюнкции обладает свойством идемпотентности: пусть A формула, тогда A · A <=> A (1).

      Рефлексивность формул дизъюнкции обладает свойством идемпотентности: пусть A формула, тогда A + A <=> A (2).

      Симметричность  формул конъюнкции обладает свойством  коммутативности: пусть A, B формулы  конъюнкции, тогда A·B <=> B·A (3).

      Симметричность  формул дизъюнкции обладает свойством коммутативности: пусть A, B формулы дизъюнкции, тогда A+B <=> B+A (4).

      Использование скобок соответствует правилам ассоциативности: пусть A, B, C формулы, тогда для формул и формул дизъюнкции возможны следующие  варианты:

1. A · (B · C) <=> (A · B) · C – для конъюнкции (5);
2. A + (B + C) <=> (A + B) + C – для дизъюнкции (6).

      Дистрибутивность  конъюнкции относительно дизъюнкции и  дизъюнкции относительно конъюнкции обладает свойством транзитивности для конъюнкции и для дизъюнкции. Пусть A, B, C формулы, тогда формула равносильности соответствует одному из следующих вариантов:

1. A + (B · C) <=> (A+B) · (A + C) (7);
2. (B · C) + A <=> (A+ B) · (A + C) (8);
3. A· (B + C) <=> (A · B) + (A · C) (9);
4. (B + C) · A <=> (A · B) + (A · C) (10).

      Согласно  законов поглощения возможно установить равносильность вида: пусть A, B формулы, тогда (1) A · (A + B) <=> A (11); (2) A + (A · B) <=> A(12).

      С помощью логической операции отрицания  согласно законам де Моргана возможно установить формулы равносильности конъюнкции дизъюнкции и дизъюнкции конъюнкции. Пусть A, B формулы, тогда:

1. (A · B)^/ <=> A^/ + B^/ – для конъюнкции (13);
2. (A + B)^/ <=> A^/ · B^/ – для дизъюнкции (14).

      Операция  отрицания согласно закону исключения позволяет установить равносильность вида: пусть A, B формулы, тогда (A + B) · (A^/ + B) <=> B (15).

      Операция  отрицания согласно законам выявления  позволяет установить следующие  формулы равносильности. Пусть A, B формулы, тогда:

1. (A + C) · (B + C^/) <=> (A + C) · (B + C^/) · (A + B) (16);
2. (A · C) + (B · C^/) <=> (A · C) + (B · C^/) + (A · B) (17).

      Операция  отрицания позволяет установить равносильность эквиваленции и конъюнкции. Пусть A, B формулы, тогда:

1. (А = В) <=> (A^/ + B) ·(B^/ + A) (18).

      Операция  отрицания позволяет установить равносильность строгой дизъюнкции и конъюнкции. Пусть A, B формулы, тогда:

1. (А | В) <=> (A + B) ·(B^/ + A^/) (19).

      Согласно  закону двойного отрицания двойное  отрицание любой формулы равносильно  самой формуле: пусть A формула, тогда (A^/)^/ <=> A (20).

      Применение  закона двойного отрицания позволяет  установить формулы равносильности конъюнкции дизъюнкции и дизъюнкции конъюнкции. Пусть A, B формулы, тогда:

1. (A · B)^/ <=> (A^/ + B^/)^/ – для конъюнкции (21);
2. (A + B)^/ <=> (A^/ · B^/)^/ – для дизъюнкции (22).

      Формулы равносильности высказываний

      (p < q) = (q^/ < p^/)