Модели управления производственными запасами с учетом спроса и цен на продукцию

     Из  рис. 9 видно, что каждый период «пилы» разбивается на два временных интервала, т. е. Т=Т₁+Т₂, где Т₁ - время, в течение которого производится потребление запаса, Т₂ - время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии.

Рис. 8 

     Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии теперь не равен ее объему n, а меньше его на величину дефицита n-s, накопившегося за время Т₂ (см. рис. 8). Из геометрических соображений легко установить, что

                                                                                             (2.17)

     В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами C₁ (на пополнение запаса) и С₂ (на хранение запаса) необходимо ввести затраты С₃ — на штраф из-за дефицита, т.е. .

     Затраты C₁, как и ранее, находим по формуле (2.11). Затраты С₂ при линейном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т₁ равен sT₁/2; поэтому с учетом (2.7) и (2.5) эти затраты составят

                                                                             (2.18)

     При расчете затрат С₃ будем считать, что штраф за дефицит составляет в единицу времени с₃ на каждую единицу продукта. Так как средний уровень дефицита за период T₂ равен (n-s)T₂/2, то штраф за этот период T₂ составит 1/2c₃(n-s)T₂, а за весь период с учетом (2.7) —

                                                (2.19)

     Теперь, учитывая (2.12), (2.18) и (2.19), суммарные затраты равны

                                                                                  (2.20)

     Нетрудно  заметить, что при n=s формула (2.19) совпадает с ранее полученной (2.8) в модели без дефицита.

     Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых функция С (2.19) принимает минимальное значение. Другими словами, необходимо исследовать функцию двух переменных С(n,s) на экстремум. Приравнивая частные производные к нулю, получим после преобразований систему уравнений:

                                                                                    (2.21)

     Решая систему, получаем формулы наиболее экономичного объема партии и максимального уровня запаса для модели с дефицитом¹:

                                                                           (2.22)

                                                                                                    (2.23)

 Величина

                                                                                                                   (2.24)

называется  плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса и играет важную роль в управлении запасами. Заметим, что . Если значение с₃ мало по сравнению с с₂, то величина близка к нулю: когда с₃ значительно превосходит с₂, то близка к 1. Недопустимость дефицита равносильна предположению, что с₃ = или = 1.

     Используя (2.24), основные формулы (2.22) и (2.23) можно записать компактнее:

                                                                                                             (2.25)

                                                                                                                 (2.26)

     Следует учесть, что в силу (2.17) и (2.26) и . Поэтому утверждение о том, что плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса равна , означает, что в течение (1- )100% времени от полного периода T запас продукта будет отсутствовать.

     Из  сравнения формул (2.25) и (2.10) следует, что оптимальные объемы партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением

                                                                                                                 (2.27)

откуда  вытекает, что оптимальный объем  партии в задаче с дефицитом всегда больше (в  раз), чем в задаче без дефицита. 
 

2.5. Многопродуктовая статическая модель с ограничениями на ёмкость складских помещений

     Эта модель предназначена для системы управления запасами, включающей n > 1 видов продукции, которая хранится на одном складе ограниченной площади. Пусть А - максимально допустимая площадь складского помещения для n видов продукции; a_i - площадь, необходимая для хранения единицы продукции i-го вида; y_i - размер заказа на продукцию i-го вида. Задача сводится к минимизации при для всех i.

III. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ  УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 
 

     Рассмотрим  стохастические модели управления запасами, у которых спрос является случайным. Этот факт существенным образом сказывается  на характере соответствующих моделей  и значительно усложняет их анализ, в связи с чем ограничимся рассмотрением наиболее простых моделей.

     Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения р(r) или плотность вероятностей (обычно функции р(r) и оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат с₂ на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит с₃ на единицу продукции.

     В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях  случайной величиной, рассматривают  ее среднее значение или математическое ожидание.

     В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения р(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид²:

                                                                              (3.28) 

     В выражении (3.28) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка s - r единиц продукта (при ), а второе слагаемое - штраф за дефицит на r - s единиц продукта (при ).

     В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью вероятностей , выражение C(s) принимает вид:

                                                                         (3.29)

     Задача  управления запасами состоит в отыскании  такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (3.28) или (3.29) принимает минимальное значение. Доказано, что при дискретном случайном спросе r выражение (3.28) минимально при запасе s₀, удовлетворяющем неравенствам

                                                                                                     (3.30)

а при  непрерывном случайном спросе r выражение (3.29) минимально при значении s₀ , определяемом из уравнения

                                                                                                                  (3.31)

где

                                                             F(s) = p(r < s)                                            (3.32)

есть  функция распределения спроса r, F(s₀) и F(s₀ +1) - ее значения; - плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по (2.24). 

Рис. 9 

     Оптимальный запас s₀  при непрерывном спросе по данному значению может быть найден и графически (рис. 9).

     В условиях рассматриваемой модели предположим, что расходование запаса происходит непрерывно с одинаковой интенсивностью. Такую ситуацию можно представить графически (рис. 10).

                             а                                                                                      б

Рис. 10 

     Рис. 10-а соответствует случаю , когда спрос не превосходит запаса, а рис. 10-б — случаю, когда спрос превышает запас, т.е. r > s. Следует отметить, что на самом деле график J(t) представляет ступенчатую ломаную, показанную на рис. 10 пунктиром, но для исследования модели нам проще рассматривать J(t) в виде прямой, сглаживающей эту ломаную.

     Средний запас, соответствующий рис. 10-а, равен

                                                                                           (3.33)

     Средний запас, соответствующий рис. 10-б с учетом формулы (2.17), в которой полагаем n = r, составляет

                                                                                                        (3.34)

     Средний дефицит продукта за период T₂ для случая, соответствующего рис. 10-б с учетом (2.17), где n = r, равен

                                                                                      (3.35)

     Математическое  ожидание суммарных затрат составит:

                                       (3.36)

     Доказано, что в этом случае математическое ожидание (3.36) минимально при запасе s₀, удовлетворяющем неравенству

                                                                                                     (3.37)

где по-прежнему определяется по формуле (2.24):

                                                                                                (3.38)

L(s₀) и L(s₀+ 1) — значения функции (3.38), a F(s) находится в соответствии с определением (3.32). 
 

3.2. Стохастические модели управления запасами с фиксированным

временем  задержки поставок

     В рассмотренных выше идеализированных моделях управления запасами предполагалось, что пополнение запаса происходит практически мгновенно. Однако в ряде задач время задержки поставок может оказаться настолько значительным, что его необходимо учитывать в модели.

     Пусть за время задержек поставок уже заказаны n партий по одной в каждый из n периодов продолжительностью Т = /n.

Обозначим:

s_нз  — первоначальный уровень запаса (к началу первого периода);

s_i — запас за i-й период;