Геометрическое решение игр

Решение. Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей, представленной в таблице 1.

Определим верхнюю и нижнюю цены игры: = 3, = 6. Как видно, седловая точка отсутствует, и решение нужно искать в смешанных стратегиях игроков: U* = (, ), Z* = (, , , ).

Решим игру, используя геометрический метод. Соответствующие построения приведены на рисунке 6.

Точка M – точка максимального гарантированного выигрыша. Она находится на пересечении отрезков, соответствующих состояниям спроса B1 и B3.

Рисунок 6 – Геометрическое решение игры Задачи 2.

Найдем координаты точки M.

B1B'1:

B3B'3:

Таким образом, получим:

= 5/8, = 3/8, v = 21/4.

Полученное решение интерпретируется следующим образом. Продукция А1 должна составлять 62,5% (5/8) от общего объема выпущенной продукции, продукция А2 – 37,5% (3/8). Это гарантирует предприятию среднюю прибыль в размере 5,25 (21/4) при любом характере спроса.

Ответ: U* = (5/8, 3/8); v = 21/4.

Еще раз обратим внимание на рисунок 5.5 и платежную матрицу, представленную в таблице 1.

Стратегия B2 заведомо невыгодна для игрока В по сравнению со стратегией B1. На рисунке 5.5 все точки отрезка B2B'2 лежат выше отрезка B1B'1, следовательно, заранее понятно, что стратегия B2 не входит в оптимальное решение.

Таким образом, столбец B2 может быть исключен из рассмотрения до начала решения задачи, поскольку соответствующая стратегия заведомо невыгодна для игрока B по сравнению со стратегией B2.

Итак, исходная игра может быть упрощена путем исключения из платежной матрицы строк и столбцов, соответствующих заведомо невыгодным стратегиям.

Такими стратегиями для игрока А являются те, которым соответствуют строки с элементами, заведомо меньшими по сравнению с элементами како-либо другой строки.

Для игрока В невыгодным стратегиям соответствуют столбцы с элементами, заведомо бoльшими по сравнению с элементами какого-либо другого столбца [3].

Заключение

Таким образом, мы завершили краткий обзор использования графического метода. Суть его заключается в представлении на одном графике нескольких возможных функций выигрыша одного игрока при фиксированных чистых стратегиях другого игрока. Далее, поскольку игрок А всегда выбирает стратегию по принципу «максимина» – т.е. ту, при которой даже минимальный выигрыш будет больше минимального выигрыша любой другой стратегии,  для него определяем «нижнюю огибающую» отрезков (графиков функций), а на ней выбираем наивысшую (максимальную) точку. Абсцисса этой точки укажет ту вероятность, с которой необходимо применять одну из стратегий, а именно ту, чья функция содержала отрезок нижней огибающей перед самым максимумом и пересечением с другой функцией. Стратегию, определяемую этой второй функцией, нужно применять с вероятностью 1 минус первая вероятность.

Для игрока В, всегда, как условленно, минимизирующего потери,  рассуждения аналогичны, но только на этот раз мы находим «верхнюю огибающую» и ее точку минимума.

Необходимо заметить, что эта точка не обязательно должна являться пересечением отрезков, она может быть и пересечением отрезка с осью 0У или с перпендикуляром к оси 0Х, или же быть не точкой, а отрезком, и в таком случае наилучших стратегий будет бесконечное множество.

2

Список использованной литературы

1.                  Безруков А.Б., Саитгараев С.С. Прикладная теория игр: Учеб. пособие / Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2001. 127 с.

2.                  Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом: Учеб. пособие. – М.: Дело, 2001. – 464 с.

3.                  Сайт «Экономико-математические методы». Раздел «Элементы теории игр». http://emm.ostu.ru/lect/lect5.html#ex5.3

2