Экономико - математическая модель межотраслевого баланса "Затраты - Выпуск"

МОДУЛЬ 3. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА «ЗАТРАТЫ – ВЫПУСК»

 

1. Модель «Затраты–Выпуск». Открытая модель Леонтьева

 

Рассмотрим  экономическую систему, состоящую из n отраслей.

Балансовая  модель это система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса  между производимым количеством  продукции отдельными отраслями  экономической системы и совокупной потребностью в этой продукции, т.е.

                        (3.1)

 

Модель  в матричном виде имеет вид

         (3.2)

 Обозначим матрицу коэффициентов через  А:

;

Матрицу  валовой продукции X:

                  - матрица конечной продукции,

 

где x_i - валовая продукция i - той отрасли;

y_i - конечная продукция i - той отрасли, которая выводится за пределы производства; тогда экономико-математическая модель межотраслевого баланса (1) и (2) в матричной форме будет иметь вид:

X=Ax+y                                     (3.3)

Эта линейная открытая модель МОБ является моделью  Леонтьева, моделью «Затраты – выпуск»

Матрица называется матрицей прямых материальных затрат.  Коэффициент прямых материальных затрат  a_ij матрицы A показывает, какое количество продукции i - той отрасли необходимо для производства единицы продукции j – той отрасли, если учитывать только прямые затраты.

В балансовой модели  может быть требование соответствия наличия ресурса и его использования. Например, соответствие наличия рабочей  силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения  и предложения товаров и услуг.

Важнейшие виды балансовых моделей:

-  межотраслевые  балансы;

-  частные  материальные, трудовые и финансовые  балансы;

-  матричные  техпромфинпланы предприятий и фирм.

Балансовые  модели, в которых все зависимости  отнесены к одному моменту времени, называют статическими. Такие модели разрабатывают для отдельно взятых периодов, они отражают состояние  экономики только в одном периоде, используют их для отчетности и контроля.

Таблица 3.1  

Принципиальная схема  статического межотраслевого баланса (МОБ)

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли					Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3	…	n
1 2 3 . . . n	x11 x21 x31 . . . xn1	x12 x22 x32 . . . xn2	x13 x23 x33 . . . xn3	… … … . I . …	x1n x2n x3n . . . xnn	Y1 Y2 Y3 . II . Yn	X1 X2 X3 . . . Xn
Амортизация Оплата труда Чистый доход	с1 v1 m1	с2 v2 m2	с3 v3 m3	… III …	сn vn mn	IV
Валовой продукт	X1	X2	X3	…	Xn

 

 

Недостатком статических моделей является то, что не анализируются распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений. Капитальные вложения вынесены из сферы  производства в сферу конечного  использования, т.е. включены в конечный продукт.

Балансовые  модели строят в виде числовых матриц, поэтому их называют матричными. Несмотря на разнообразие и специфику моделей, их объединяет общий матричный принцип  построения и единство системы расчетов и аналогия некоторых экономических  характеристик.

Например, матричную структуру имеют межотраслевой, межрайонный, межрегиональный баланс производства и распределения продукции, матричные модели промфинпланов предприятий и фирм.

В моделях  межотраслевого баланса (МОБ) отражается производство и распределение общественного  продукта по отраслям, межотраслевые  связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода. [20].

В таблице  все экономические показатели в  стоимостном выражении, экономическое  содержание каждой матрицы в четырех  квадрантах различно.

Так в  первом квадранте x_ij - межотраслевые потоки продукции. Например, x₂₃ - стоимость средств производства, произведенных в отрасли с номером 2 и потребленных в качестве материальных затрат в отрасли с номером 3.

Сумма всех элементов первого квадранта  равна годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.

Матрица второго квадранта в развернутом  виде - распределение национального  дохода на фонд накопления и фонд потребления  и показывает структуру потребления  и накопления по отраслям производства и потребления.

y_i - конечный продукт i-той отрасли (в укрупненном виде) по направлениям использования на общественное потребление, накопление, экспорт, возмещение потерь и т.д.

Матрица III квадранта характеризует национальный доход в стоимостном выражении, как сумму амортизации C_j и чистой продукции (v_j+m_j)  j– той отрасли.

Введем  понятие условно-чистой продукции Z_j,  как сумму

    C_j + (v_j+m_j) = Z_j                     (3.4)

Матрица четвертого квадранта отражает конечное распределение и использование  национального дохода. В результате перераспределения первоначально  созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства.

Данные  IV квадранта важны для отражения в МОБ доходов и расходов населения, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей.

Таким образом, одна модель МОБ объединяет балансы  отраслей материального производства, балансы национального дохода, финансовый баланс, баланс совокупного общественного продукта, баланс доходов и расходов населения.

Для проверки правильности баланса используют валовую  продукцию X: x_i - матрица - столбец ;  x_j -  матрица - строка , где нижний индекс номер отрасли.

Рассматривая  схему по столбцам, получаем  материальные затраты j - той потребляющей отрасли

                   (3.5)

Эта система  n уравнений отражает стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Если  схему рассматривать по строкам, то

                      (3.6)

В каждом уравнении этой системы показано распределение продукции отраслей производства по направлениям использования.

Сущность  и основа экономико-математической модели отражается в равенствах (3.5) и (3.6)

Просуммируем  (3.5) по j , а (3.6)  по i 

                    (3.7)

                    (3.8)

левые части (3.7) и (3.8) равенства равны, т.к. представляют собой валовой общественный продукт. Сравнивая правые части этих равенств, получим                             

                                (3.9)

В этом равенстве  межотраслевого баланса соблюдается  принцип единства материального  и стоимостного состава национального  дохода.

Из определения  коэффициентов прямых материальных затрат следует формула для  их вычисления:

                 (3.10)

 

3.2. Замкнутая модель Леонтьева

 

В замкнутой модели Леонтьева затраты внутри экономической системы равны валовой продукции системы: все, что производится в системе, в ней же и потребляется на производственные нужды и каждый продукт производится, т.е.

                        (3.11)

Вектор  , удовлетворяющий условию (3.11) называется равновесным вектором системы, имеющей матрицу прямых затрат А. равенство (3.11) показывает, что вся валовая продукция каждой отрасли потребляется всеми отраслями системы полностью.

Линейная  балансовая модель называется открытой, если не вся продукция системы затрачивается внутри системы, часть продукции идет на внешнее потребление.

Матрица прямых материальных затрат и ее продуктивность

Матрица А прямых материальных затрат в балансовых моделях является основой информационного обеспечения, отражает продуктивность экономической системы.

Для того чтобы матрица коэффициентов  прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1) существование   неотрицательного вектора X≥0 и вектора конечной продукции Y>0, удовлетворяющих  модели межотраслевого баланса;

2) для  матрицы  существование неотрицательной обратной  матрицы, т.е.  ;

3) наибольшее  по модулю собственное значение  λ матрицы А, строго меньше единицы;

4) все  главные миноры матрицы  положительны.

5) матричный  ряд  сходится, причем его сумма равна обратной матрице .

Основное  балансовое равенство (3.3) позволяет решить важные задачи:

• задавая валовую продукцию отраслей системы, можно вычислить конечную продукцию отраслей. Для этого преобразуют равенство (3.3):

 ,

                             (3.12)

• имея информацию о конечной продукции отраслей, можно вычислять их валовую продукцию, для этого необходимо (3.12) умножить на обратную матрицу слева

,

Отсюда    

                                                      (3.13)

• для ряда отраслей, задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции остальных. В последнем случае удобнее пользоваться системой уравнений (3.6).

В формулах используется единичная матрица Е, по главной диагонали которой стоят 1, остальные элементы 0.

 

Матрица полных производственных затрат   

О. Матрица (E-A)^-1=B называется матрицей коэффициентов полных материальных затрат, каждый коэффициент (элемент) которой b_ij показывает, какое количество продукции i – той отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат получить единицу конечной продукции j – той отрасли.

В матричной  алгебре известно, что обратная матрица  существует для невырожденных матриц, т.е. матрица E-A должна быть обратима, а с экономической точки зрения, неотрицательно обратима. Для вычисления матрицы полных материальных затрат можно использовать точную, известную в математике, формулу:

,         (3.14)

     где  - определитель матрицы ,

A_ij - алгебраические дополнения элементов матрицы ,

,    где  - определитель (минор),  получаемый при вычеркивании  i – той строки и j – того столбца.

Приближенное  значение коэффициентов матрицы  полных материальных затрат можно получить как сумму элементов матричного ряда

                      (3.15)

       где A - матрица коэффициентов прямых материальных затрат должна обладать свойством продуктивности.

A² - косвенные затраты первого порядка,

A³ - косвенные затраты второго порядка и т.д..

Рассмотрим  в качестве примера формирование затрат топлива на получение хлеба, при этом ограничимся технологической  цепочкой «посев – уборка зерна  – мука – хлеб». Затраты топлива  на получение хлеба из муки будут  называться прямыми затратами топлива, затраты топлива при получении муки из зерна будут называться косвенными затратами I – ого порядка при получении хлеба, а затраты топлива на получение зерна от посева будут называться косвенными затратами II – ого порядка при получении хлеба. Таким образом, коэффициент матрицы полных материальных затрат есть сумма прямых затрат и косвенных затрат продукции i-той отрасли для производства единицы продукции j-той отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства.

 

3.3. Динамическая модель Леонтьева

 

Динамическая  модель Леонтьева относится к классу межотраслевых, в ее основе лежит статическая модель межотраслевого баланса. Конечный продукт разбивается на две части: вектор объемов капитальных вложений и вектор непроизводственного потребления

,

где показывает, какое количество продукции i-той отрасли направлено в текущем году в j-тую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в ее основные фонды. Капитальные вложения считаются зависимыми от приростов объема производства ( - вектор производных объемов производства по времени). Форма этой зависимости - линейная однородная:

,                            (3.16)

где - коэффициенты вложений, характеризующие фондоемкость единицы прироста продукции, их еще называют коэффициентами приростной фондоемкости. В динамической модели они играют особую роль. Квадратная матрица n-го порядка коэффициентов приростной фондоемкости дает значительный материал для экономического анализа и планирования капитальных вложений

,

каждый столбец которой характеризует для соответствующей j-той отрасли величину и структуру фондов, необходимых для увеличения на единицу ее производственной мощности (выпуска продукции). Прирост продукции , где t – текущий период, а (t-1) – предшествующий.