Экономико-математическое моделирование

НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Если между  экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы,   параболы второй степени и др.

Различают два класса нелинейных регрессий:

регрессии,  нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих  переменных, но линейные по оцениваемым  параметрам;

регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.  
Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

• полиномы разных степеней6:

у = а + bх + сх² + e,

у = а + bx + cx² + dx³ ++ e; 

• равносторонняя гипербола — у = а + b /x + е.

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

степенная — у = а х^b+ е;

показательная — у = аb^х + e;

экспоненциальная  — у = е^a+bx + e.

Нелинейная регрессия  по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени

у = а₀ + а₁ х + а₂ х² + e,

заменяя переменные х =х₁, х² =х₂, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

у = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ + e,

для оценки параметров которого, используется МНК.

Соответственно для полинома третьего порядка

y = а₀ + а₁ х + а₂ х²+а₃ х³ + e,

при замене х = х₁, х² =x₂, х³ = х₃ получим трехфакторную модель линейной регрессии:

у = а₀ + а₁ x₁ + a₂ x₂b+ a₃ x₃ + e,

а для полинома к-ro порядка получим линейную модель множественной регрессии с k объясняющими переменными:

у = а₀ + а₁  x_l + а₂  х₂ + ...  + e

 

Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Как показывает опыт большинства исследователей, среди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях — полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и соответственно менее однородна совокупность по результативному признаку.

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала  значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени:

Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретируемыми, а форма связи часто заменяется другими нелинейными моделями.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

Решение ее возможно методом определителей:

где Δ – определитель системы;

Δa, Δb и Δc –частные определители для каждого из параметров.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без  особых затруднений оцениваются  МНК, следует назвать хорошо известную  в эконометрике равностороннюю гиперболу: у_х = а + b/x.

Она может быть использована не только для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой  продукции, времени обращения товаров  от величины товарооборота, т.е. на микроуровне, но и на макроуровне. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы x: и процентом прироста заработной платы у: 

 

Английский экономист  А. В. Филлипс, анализируя данные более  чем за 100-летний период, в конце 50-х гг. XX в. установил обратную зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы.

Для равносторонней гиперболы приведенного выше вида, заменив 1/x  на  z,получим линейное уравнение регрессии y = a + bz + e, Оценка параметров которого может быть дана МНК. Система нормальных уравнений составит: 

 
 
 
При b > 0 имеем обратную зависимость, которая при х →∞ характеризуется нижней асимптотой, т. е. минимальным предельным значением  у, оценкой которого служит параметр а. Так, для

кривой Филлипса y_х =0,00679 + 0,1842∙(1/x)     - величина параметра a,равная 0,00679, означает, что с ростом уровня безработицы темп прироста заработной платы в пределе стремится к нулю. Соответственно можно определить тот уровень безработицы, при котором заработная плата оказывается стабильной и темп ее прироста равен нулю.

При b < 0 имеем медленно повышающуюся функцию с верхней асимптотой при х → ∞, т. е. с максимальным предельным уровнем у, оценку которого в уравнении дает параметр а.

Примером может  служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования  и общих сумм расходов (или доходов). Математическое описание подобного  рода взаимосвязей получило название кривых Энгеля. В 1857 г. немецкий статистик Э. Энгель на основе исследования семейных расходов сформулировал закономерность - с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается. Соответственно с увеличением дохода доля доходов, расходуемых на непродовольственные товары, будет возрастать. Однако это увеличение не беспредельно, ибо на все товары сумма долей не может быть больше единицы, или 100%, а на отдельные непродовольственные товары этот предел может характеризоваться величиной параметра а для уравнения вида 

 
у — доля расходов на непродовольственные товары;

х — доходы (или общая сумма расходов как индикатор дохода).

Правомерность использования равносторонней гиперболы  в качестве кривой Энгеля легко доказывается. Соответственно можно определить границу  величины дохода, дальнейшее увеличение которого не приводит к росту доли расходов на отдельные  непродовольственные товары.

Иначе обстоит  дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции. Например, в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция: 

где   у —  спрашиваемое количество, 

   х —  цена, 

   e—   случайная ошибка.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых  параметров, ибо включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду:

Соответственно оценки параметров а и b могут быть найдены МНК. В рассматриваемой степенной функции предполагается, что случайная ошибка в мультипликативно связана с объясняющей переменной х. Если же модель представить в виде у = ах^b +e, то она становится внутренне нелинейной, ибо ее невозможно превратить в линейный вид. 
 
 

 

В специальных  исследованиях по регрессионному анализу  часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые  внешне нелинейны, но путем преобразований параметров могут быть приведены к линейному виду, относятся к классу линейных моделей. В этом плане к линейным относят, например, экспоненциальную модель у = е^a+bx+е, ибо логарифмируя ее по натуральному основанию, получим линейную форму модели

               Lny =a+ bx+ lne

Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода . Модели внутренне нелинейные по параметрам могут иметь место в эконометрических исследованиях. Однако гораздо большее распространение получили модели, приводимые к линейному виду. Решение такого типа моделей реализовано в стандартных пакетах прикладных программ. Среди них, в частности, можно назвать и обратную модель вида 

. 

Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены  к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция у = ах^b+е. Связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. О правомерности подобного истолкования параметра b для степенной функции у_х = аx^b можно судить, если рассмотреть формулу расчета коэффициента эластичности:

Где dy/dx - первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.

Коэффициент эластичности, естественно, можно определять и  при наличии других форм связи, но только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру Ь. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора х. Так, для линейной регрессии у_х = а + b х функция и эластичность следующие:

dy/dx=b,    

В силу того что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит  от соответствующего значения х, то обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле

Для оценки параметров степенной функции у = а х^b + e применяется МНК к линеаризованному уравнению lny = lna + b lnx+ lne.

Параметр  b определяется непосредственно из системы, а параметр а — косвенным путем после потенцирования величины 1nа.

Поскольку параметр а экономически не интерпретируется, то нередко зависимость записывается в виде логарифмически линейной. В виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и предложения. При этом обычно эластичность спроса характеризуется параметром b < 0, а эластичность предложения: b > 0.

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах. Например, вряд ли кто будет определять, на сколько процентов может измениться заработная плата с ростом стажа работы на 1 %. Или, например, на сколько процентов изменится урожайность пшеницы, если качество почвы, измеряемое в баллах, изменится на 1 %. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям, не может быть экономически интерпретирована.

Например, изучая соотношение ставок межбанковского кредита у (в процентах годовых) и срока его предоставления х (в днях), было получено уравнение регрессии у_х = 11,684х^0,352 с очень высоким показателем корреляции (0,9895). Коэффициент эластичности 0,352% лишен смысла, ибо срок предоставления кредита не измеряется в процентах. Значительно больший интерес для этой зависимости может представить линейная функция у_х = 21,1 + 0,403х, имеющая более низкий показатель корреляции 0,85. Коэффициент регрессии 0,403 показывает в процентных пунктах изменение ставок кредита с увеличением срока их предоставления на один день.