Контрольная работа по "Методы математического моделирования"

Задача № 1.

В пространстве трех товаров  известен вектор цен , богатство потребителя ден. ед. и его функция полезности . Требуется описать (с помощью системы неравенств) бюджетное множество и изобразить его графически. Затем следует определить функцию спроса и рассчитать ее конкретное значение при заданном богатстве и векторе цен. После этого нужно убедиться в справедливости уравнения Слуцкого для данного потребителя. Далее следует определить, какие товары являются ценными и малоценными; нормальными товарами и товарами Гиффина; какие товары взаимозаменяемы, а какие являются взаимодополняющими.

Решение.

В рассматриваемом примере  система неравенств принимает вид:

 

С геометрической точки  зрения данное бюджетное множество  представляет собой трехгранную  пирамиду, одна вершина которой находится  в начале координат, а три другие – соответственно в точках , , на осях Ox1, Ox2, и Ox3 (рисунок 1).

Рисунок 1 – Бюджетное  множество

Предельные полезности товаров равны:

 

поэтому условия для определения  функции спроса принимают вид:

 

 

Таким образом, функция  спроса данного потребителя:

 

а предельная полезность денег .

При данном векторе цен  и богатстве потребителя получаем:

 

 

Итак, вектор спроса при  данных ценах и данном богатстве  таков: 

Убедимся теперь, что  для данного потребителя действительно  выполняется уравнение Слуцкого. Рассмотрим, например, что произойдет со спросом при изменении цены первого товара. Пусть цена первого  товара изменилась с  до . Если произошло соответствующее компенсирующее изменение богатства на величину:

 

то новая точка спроса

 

т. е. изменение спроса составляет:

 

Отсюда находим  изменение спроса при бесконечно малом изменении цены первого товара и компенсирующем изменении дохода:

 

 

 

Найдем теперь (i = 1, 2, 3):

 

 

Замечаем, что

 

 

 

т.е. уравнение Слуцкого для данного  потребителя действительно выполняется.

Поскольку

 

все три товара ценные (так как  ценные товары не могут быть товарами Гиффина, все три товара являются нормальными). Первый и второй товары являются взаимозаменяемыми, так как

 

Точно так же можно показать, что первый и третий, а также второй и третий товары образуют взаимозаменяемые пары, а взаимодополняющие товары для данного потребителя отсутствуют.

 

Задача 2.

Рассматривается фирма  с мульпликативной функцией. Известно, что для увеличения выпуска на  % необходимо увеличить основные производственные фонды на  % или увеличить численность работников на  %. В настоящее время основные производственные фонды фирмы оцениваются в   ден. ед., всего в фирме занято сотрудника, каждый из которых производит продукцию в среднем на ден. ед. в месяц. При средней заработной плате ден. ед. в месяц. Период амортизации основных производственных фондов составляет месяца.

Требуется найти производственную функцию, рассчитать оптимальный размер производственных фондов и оптимальную  численность работников. Затем нужно  определить во сколько раз увеличится прибыль фирмы при переходе к  оптимальным затратам факторов производства.

Решение.

Мультипликативная производственная функция имеет вид:

 

где параметры  и имеют смысл эластичностей выпуска соответственно по фондам и по труду.

Учитывая это, можем найти:

 

 

т. е. выпуск фирмы определяется производственной функцией:

 

Параметр A найдем, подставив в эту формулу значения выпуска предприятия в денежном выражении:

 

Тогда

 

Таким образом, окончательно получаем производственную функцию:

 

Цена труда  ден. ед. – это заработная плата, а цена капитала ден. ед. равна ежемесячным амортизационным отчислениям на содержание одной денежной единицы производственных фондов, поэтому прибыль фирмы при таких затратах труда и капитала равна:

т.е. при заданных параметрах фирма работает в убыток.

Оптимальный размер фирмы  задается условиями, состоящими в том, что предельные эффективности ресурсов должны быть в оптимальной точке равны ценам ресурсов. В данном случае предельная фондоотдача и предельная производительность труда равны соответственно:

 

поэтому условия оптимального размера  фирмы принимают вид:

откуда

При этом выпуск фирмы составит:

 ден. ед.,

а прибыль

 

Оптимальный выбор затрат труда и капитала позволил предприятию получать прибыль.

 

Задача № 3.

Рассматривается рынок  трех товаров. Четыре участника рынка  обладают одинаковыми функциями полезности , начальные запасы участников рынка составляют соответственно:

 

Требуется определить равновесное  распределение товаров между  четырьмя участниками рынка.

Решение.

Пусть цены товаров  на рынке определяются вектором , тогда начальное богатство первого участника составит:

 

Аналогично определяется начальное богатство второго, третьего и четвертого участников рынка:

 

 

 

Функции спроса участников одинаковы, так как функция полезности у них одна и та же. Предельные полезности товаров равны:

 

поэтому условия (14.1.6) для определения  функции спроса принимают вид:

 

 

Таким образом, функция  спроса данного потребителя:

 

а предельная полезность денег .

Суммарный спрос на первый товар составляет:

 

аналогично определяется суммарный  спрос на второй и третий товары:

 

Суммарное предложение  первого товара равно:

 

 

 

Запишем условие равенства  суммарного спроса и суммарного предложения каждого товара:

  откуда

где, очевидно, цена третьего товара α>0. Ясно, что цены определяются относительно, поэтому для удобства положим ден. ед., тогда:

 

 

При таких ценах начальные  запасы участников рынка определяют их богатство:

 

 

 

 

Теперь можно определить равновесное распределение товаров: