Лабораторная работ по "Эконометрике"

Задача 6. Имеются данные о величине результативного признака y  и факторного признака x  по выборке (табл. 40).

Вариант 4
№	у	х
1	98,70	27,10
2	98,60	27,30
3	98,90	27,90
4	98,70	28,00
5	97,60	28,30
6	97,20	28,50
7	97,80	28,70
8	97,90	29,10
9	98,00	29,40
10	96,50	29,60
11	96,30	29,90
12	96,40	30,50
13	95,80	30,90
14	96,50	31,00
15	95,60	29,60
16	95,70	32,23

Построить линейное уравнение  регрессии. Выводы.

Задача 8. По данным задачи 6 рассчитать:

1.коэффициент парной линейной корреляции;

2.коэффициент парной линейной детерминации;

3.выводы.

 

 

РЕШЕНИЕ: 

1. Вычисляем  коэффициент корреляции.

 

Коэффициент корреляции — это показатель взаимного вероятностного влияния двух случайных величин. Коэффициент корреляции R может принимать  значения от -1 до +1. Если абсолютное значение находится ближе к 1, то это свидетельство сильной связи между величинами, а если ближе к 0 — то, это говорит о слабой связи или ее отсутствии. Если абсолютное значение R равно единице, то можно говорить о функциональной связи между величинами, то есть одну величину можно выразить через другую посредством математической функции.

 
Вычислить коэффициент корреляции можно по следующим формулам:

Rx,y

=

cov( X,Y )   σxσy

( 1.1 ),    где:

cov( X,Y ) - ковариация случайных  величин Х и Y

σx2

=

1   n

n Σ k = 1

(xk-Mx)2  ,

σy2

=

1   n

n Σ k = 1

(yk-My)2     ( 1.2 ),    - оценки дисперсий случайных величин X и Y соответственно.

Mx

=

1   n

n Σ k = 1

xk  ,

My

=

1   n

n Σ k = 1

yk     ( 1.3 ),    - оценки математического ожидания случайных величин X и Y соответственно.

или по формуле

Rx,y

=

Mxy - MxMy   SxSy

( 1.4 ),    где:

Mx

=

1   n

n Σ k = 1

xk ,

My

=

1   n

n Σ k = 1

yk ,

Mxy

=

1   n

n Σ k = 1

xkyk     ( 1.5 )

Sx2

=

1   n

n Σ k = 1

xk2 - Mx2 ,

Sy2

=

1   n

n Σ k = 1

yk2 - My2     ( 1.6 )

 

На практике, для вычисления коэффициента корреляции чаще используется формула ( 1.4 ) т.к. она требует меньше вычислений. Однако если предварительно была вычислена ковариация cov(X,Y), то выгоднее использовать формулу ( 1.1 ), т.к. кроме собственно значения ковариации можно воспользоваться и результатами промежуточных вычислений.

1.1 Вычислим  коэффициент корреляции по формуле ( 1.4 ), для этого вычислим значения x_k², y_k² и x_ky_k и занесем их в таблицу 1.

 

Таблица 1

k	xk	yk	хk2	yk2	хkyk
1	2	3	4	5	6
1	27.10	98.70	734.41000	9741.69000	2674.77000
2	27.30	98.60	745.29000	9721.96000	2691.78000
3	27.90	98.90	778.41000	9781.21000	2759.31000
4	28.00	98.70	784.00000	9741.69000	2763.60000
5	28.30	97.60	800.89000	9525.76000	2762.08000
6	28.50	97.20	812.25000	9447.84000	2770.20000
7	28.70	97.80	823.69000	9564.84000	2806.86000
8	29.10	97.90	846.81000	9584.41000	2848.89000
9	29.40	98.00	864.36000	9604.00000	2881.20000
10	29.60	96.50	876.16000	9312.25000	2856.40000
11	29.90	96.30	894.01000	9273.69000	2879.37000
12	30.50	96.40	930.25000	9292.96000	2940.20000
13	30.90	95.80	954.81000	9177.64000	2960.22000
14	31.00	96.50	961.00000	9312.25000	2991.50000
15	29.60	95.60	876.16000	9139.36000	2829.76000
16	32.23	95.70	1038.77290	9158.49000	3084.4110

 

1.2. Вычислим Mx по формуле  ( 1.5 ). 
1.2.1. Сложим последовательно все элементы xk 
x1 + x2 + … + x16 =   27.10000 + 27.30000 + ... + 32.23000 = 468.030000 
1.2.2. Разделим полученную сумму на число элементов 
468.03000 / 16 =  29.25188 
Mx = 29.251875 
1.3. Аналогичным образом вычислим My. 
1.3.1. Сложим последовательно все элементы yk 
y1 + y2 + … + y16 =   98.70000 + 98.60000 + ... + 95.70000 = 1556.200000 
1.3.2. Разделим полученную сумму на число элементов выборки  
1556.20000 / 16 =  97.26250 
My = 97.262500 
1.4. Аналогичным образом вычислим Mxy. 
1.4.1. Сложим последовательно все элементы 6-го столбца таблицы 1 
2674.77000 + 2691.78000 + ... + 3084.41100 = 45500.551000 
1.4.2. Разделим полученную сумму на число элементов 
45500.55100 / 16 = 2843.78444 
Mxy = 2843.784438 
1.5. Вычислим значение Sx2 по формуле ( 1.6. ). 
1.5.1. Сложим последовательно все элементы 4-го столбца таблицы 1 
734.41000 + 745.29000 + ... + 1038.77290 = 13721.272900 
1.5.2. Разделим полученную сумму на число элементов 
13721.27290 / 16 = 857.57956 
1.5.3. Вычтем из последнего числа квадрат величины Mx получим значение для Sx2 
Sx2 = 857.57956 - 29.251882 = 857.57956 -855.67219 =  1.90737 
1.6. Вычислим значение Sy2 по формуле ( 1.6. ). 
1.6.1. Сложим последовательно все элементы 5-го столбца таблицы 1 
9741.69000 + 9721.96000 + ... + 9158.49000 = 151380.040000 
1.6.2. Разделим полученную сумму на число элементов 
151380.04000 / 16 = 9461.25250 
1.6.3. Вычтем из последнего числа квадрат величины My получим значение для Sy2 
Sy2 = 9461.25250 - 97.262502 = 9461.25250 -9459.99391 =  1.25859 
1.7. Вычислим произведение величин Sx2 и Sy2. 
Sx2Sy2 =  1.90737 • 1.25859 =  2.400598 
1.8. Извлечем и последнего числа квадратный корень, получим значение SxSy. 
SxSy =  1.54939 
1.9. Вычислим значение коэффициента корреляции по формуле (1.4.). 
R = (2843.78444 -  29.25188 • 97.26250) /  1.54939 =  (2843.78444 - 2845.11049) /  1.54939 =  -0.85586 
 
ОТВЕТ:      Rx,y  = -0.855858

 

2. Проверяем  значимость коэффициента корреляции (проверяем гипотезу зависимости).

Поскольку оценка коэффициента корреляции вычислена на конечной выборке, и поэтому может отклоняться от своего генерального значения, необходимо проверить значимость коэффициента корреляции. Проверка производится с помощью t-критерия:

t =

Rx,y     √ n - 2       √ 1 - R2x,y

( 2.1 )

Случайная величина t следует t-распределению Стьюдента и по таблице t-распределения необходимо найти критическое значение критерия (tкр.α) при заданном уровне значимости α. Если вычисленное по формуле ( 2.1 ) t по модулю окажется меньше чем tкр.α, то зависимости между случайными величинами X и Y нет. В противном случае, экспериментальные данные не противоречат гипотезе о зависимости случайных величин.

2.1. Вычислим значение t-критерия по формуле ( 2.1 ) получим:

t =

-0.85586     √ 16 - 2       √ 1 - ( -0.85586)2

=  -6.19153

 

2.2. Определим по таблице  t-распределения критическое значение  параметра tкр.α

Искомое значение tкр.α располагается  на пересечении строки соответствующей  числу степеней свободы и столбца  соответствующего заданному уровню значимости α.

В нашем случае число степеней свободы  есть n - 2 = 16 - 2 = 14 и α = 0.1 , что соответствует критическому значению критерия tкр.α  = 1.761 (табл. 2).

Таблица 2    t-распределение

Число степеней свободы  ( n - 2 )	α = 0.1	α = 0.05	α = 0.02	α = 0.01	α = 0.002	α = 0.001
1	6.314	12.706	31.821	63.657	318.31	636.62
2	2.920	4.303	6.965	9.925	22.327	31.598
3	2.353	3.182	4.541	5.841	10.214	12.924
4	2.132	2.776	3.747	4.604	7.173	8.610
5	2.015	2.571	3.365	4.032	5.893	6.869
6	1.943	2.447	3.143	3.707	5.208	5.959
7	1.895	2.365	2.998	3.499	4.785	5.408
8	1.860	2.306	2.896	3.355	4.501	5.041
9	1.833	2.262	2.821	3.250	4.297	4.781
10	1.812	2.228	2.764	3.169	4.144	4.587
11	1.796	2.201	2.718	3.106	4.025	4.437
12	1.782	2.179	2.681	3.055	3.930	4.318
13	1.771	2.160	2.650	3.012	3.852	4.221
14	1.761	2.145	2.624	2.977	3.787	4.140
15	1.753	2.131	2.602	2.947	3.733	4.073
16	1.746	2.120	2.583	2.921	3.686	4.015
17	1.740	2.110	2.567	2.898	3.646	3.965
18	1.734	2.101	2.552	2.878	3.610	3.922
19	1.729	2.093	2.539	2.861	3.579	3.883
20	1.725	2.086	2.528	2.845	3.552	3.850
21	1.721	2.080	2.518	2.831	3.527	3.819
22	1.717	2.074	2.508	2.819	3.505	3.792
23	1.714	2.069	2.500	2.807	3.485	3.767
24	1.711	2.064	2.492	2.797	3.467	3.745
25	1.708	2.060	2.485	2.787	3.450	3.725
26	1.706	2.056	2.479	2.779	3.435	3.707
27	1.703	2.052	2.473	2.771	3.421	3.690
28	1.701	2.048	2.467	2.763	3.408	3.674
29	1.699	2.045	2.462	2.756	3.396	3.659
30	1.697	2.042	2.457	2.750	3.385	3.646
40	1.684	2.021	2.423	2.704	3.307	3.551
60	1.671	2.000	2.390	2.660	3.232	3.460
120	1.658	1.980	2.358	2.617	3.160	3.373
∞	1.645	1.960	2.326	2.576	3.090	3.291