Линейные и нелинейные модели. транспортная задача

 

ТАБЛИЦА 2

 
 
 
 

ТАБЛИЦА 3

 
 

В таблице 1 приведена  прибыль предприятия  за ряд лет и  факторы ее определяющие.

1. Построить многофакторную модель (линейного типа), описывающую зависимость прибыли от изменения приведенных факторов.

Выделив массив ячеек 5х10, вызываем встроенную функцию  ЛИНЕЙН() и заполняем соответствующие  поля в форме самой функции:

 

Нажимаем ctrl+shift+enter и получаем таблицу: 

Где в первой строке находятся:  1й слева –  свободный член, 2й слева –  коэффициент при х₁ (уровень инфляции), 3й – коэффициент при х₂ (средняя з/п) и т.д. Это дает нам построить модель прибыли вида y=a_1*x₁+ a_2*x₂+ a_3*x₃+…+ a_n*x_n.

2. Оценить адекватность модели, используя критерий Стьюдента.

При уровне значимости в 1% t-критерий Стьюдента равен:

(1)

Он значительно  превышает критическое значение, что говорит об адекватности модели.

3. Выявить положительно и отрицательно влияющие на прибыль факторы. Исходя из вида модели, влияние фактора можно определить по знаку соответствующего коэффициента. Положительно влияют на прибыль:

• номенклатура выпускаемой продукции;

• стоимость материалов.

Отрицательно  влияют на прибыль:

• постоянные издержки;
• переменные издержки;
• стоимость энергоносителей.

В данной модели не оказывают влияние на прибыль  уровень инфляции и средний уровень  заработной платы.

4. Определить наиболее прибыльные для предприятия товарные группы

 можно по  коэффициентам при К1, К2, К3 в  полученной модели.

Товарные группы в порядке убывания их прибыльности: К1, К2, К3.

5. Используя полученную модель и прогнозируемые в таблице 2 показатели оптимизировать портфель заказов (производственную программу) предприятия учитывая приведенные ограничения.

Используя данные об изменении факторов, заполняем  в таблице 1 строку данных следующего периода.

 

В свободные  ячейки вносим формулы ограничений  по складированию продукции и  поточного производства( заменив  К1, К2 и К3 ссылками на соответствующие  ячейки):

• Ограничения на складирование: К1+24К2+7К3;
• Ограничение для поточного производства: К1+К2-К3.

Далее используя  полученную модель прибыли заполняем  столбец  У’ и вызываем «поиск решения». Функцию прибыли максимизируем, изменяя ячейки, где отражается номенклатура производимой продукции. Вводим ограничения  по госзаказу, поточному производству и складированию (ссылаясь на заполненные ранее ячейки). Значения изменяемых ячеек должны быть целыми и больше 0.

 

В результате получаем:

 

Интерпретируя полученный результат имеем, что  для получения в данных условиях максимально возможной прибыли  в 35903644,449 тыс. руб. необходимо произвести 2874300 продукции К1, 350 ед. К2 и 15000 ед. К3.

6. Изменяя объемы выпуска К1, К2, К3 найти минимально предельные (граничные) объемы выпуска при которых предприятие еще выполняет план роста прибыли. Для этого повторяем предыдущую процедуру поиска решения, убрав все ограничения кроме целочисленности и неотрицательности изменяемых ячеек, но не максимизируем прибыль, а приравниваем ее к плановой.

 

Получаем следующие  результаты:

 
 

В данном случае получается, что при 70% увеличении прибыли  нет решения. 

Задача 11

     Для обеспечения рынка различными товарами  от А до К (рис. 2.18)  составить оптимальную  производственную программу, максимизирующую  прибыль  предприятия (разность между  выручкой и затратами на выпуск всего  номенклатурного ряда продукции). Средняя  оплата 1 чел/час – 2 тыс. руб. Общий  фонд заработной платы не должен превысить 120  млн. руб. Общий фонд рабочего времени не должен превышать 1000 чел/час  за планируемый период.

Ограничения на складирование продукции выражается соотношением:

2А+3В+С+5Д+4Е+К  не более 2 000 штук

Рис. 2.18 Исходные данные к задаче

Для решения  применить возможности оптимизации  пакета MS EXCEL.

      Зададим целевую функцию максимизирующую  прибыль предприятия (27):

Z = X1*(12-4)+X2*(10-6)+X3*(9-8)+X4*(14-12)+X5*(15-11)+X6*(8-5) (27),

Преобразуем ее:

Z = 8X1+4X2+X3+2X4+4X5+3X6 (28)

      Решим данную задачу с применением оптимизации  пакета MS Excel.

     Для решения воспользуемся целевой  функцией (28), а также составим систему  ограничений, с помощью которых  найдем максимальное значение прибыли  предприятия.

      Ограничения: 

Перенесем исходную таблицу (рис. 2.18), целевую  функцию (28) и ограничения (29) на лист MS Excel. Установим курсор в ячейку «Целевая функция» и вызовем «Поиск решения» (рис. 2.19). Целевую функцию устремляем к максимуму, ячейки со значениями товаров – изменяемые, ограничения в соответствии с системой неравенств (29).

 Рис. 2.19 Поиск оптимального решения  в MS Excel

      Решение данной задачи находится автоматически  после нажатия кнопки «Выполнить» (рис. 2.20).

Рис. 2.20 Решение задачи путем оптимизации  в MS Excel

      Исходя  из найденного решения максимальной прибылью предприятия является 460 при  следующем наборе товаров: товар  А = 20, товар В = 21, С = 32, Д = 18, Е = 25, К = 16.

 

Задача 28

Указать оптимальные размеры и потоки  инвестирования, если прибыль (выраженная в тыс. у.е.) от вложений (Х_i)  в проекты (А_i) распределилась следующим образом:

Таблица 1. Исходные данные

 

       В таблице 1 описана оценка эффективности  инвестиций 4-х проектов, в зависимости  от объема вложений (невложений) в эти  проекты инвестиционных средств. Предположим, что шаги инвестирования равномерные. Суть оптимизации в этой задаче состоит  в том, что в зависимости от шага инвестирования нужно выбрать  такое направление инвестиций при  котором суммарная эффективность  по всем направлениям и всем шагам  стремится к максимуму.

       Ожидаемая эффективность оценивается аналитически. Выбор каждого последующего шага и направления вложения на этом шаге зависит от результатов предыдущих шагов, т.е. оптимизация определяется пошагово.

       Решим задачу с помощью рекуррентной функции  Беллмана, которая имеет следующий  вид:

       

                         

       Оптимальное поведение любой функции  в  динамическом процессе обладает свойством: каким бы ни было  начальное состояние  и решение рекуррентной функции, последующее решение  этой функции  должно быть оптимальным относительно полученного решения в начале.

Подставим значения в рекуррентную функцию (2):

  

f(60)      max(60)=56

                                                                     =112

                     max(30)+max(30)=112 

f(90)       max(90)=39

      max(60)+max(30)=112   =168

     max(30)+max(30)+max(30)=168 
 
 

f(120)       max(120)=136

max(90)+max(30)=95

      max(60)+max(60)=112       =224

max(60)+max(30)+max(30)=168

     max(30)+max(30)+max(30)+max(30)=224 

       Таблица 1 переносится в Excel, добавляем нулевой шаг, слева добавляется столбец шагов тренда, а в разделе эффективности добавляются столбцы (Таблица 2).

Таблица 2