Математические методы в экономическом анализе

  
Решим данную задачу на ПЭВМ с использованием, например, инструментальных средств МВ Excel и сделаем экономический анализ полученного решения. Как правило, решение конкретной задачи на ПЭВМ включает в себя следующие этапы: 
·        составление математической модели; 
·        присвоение элементам модели определенных «имен»; 
·        составление матричной модели с поименованными элемен­тами; 
·        ввод и корректировка исходных данных; 
·        решение задачи на ПЭВМ; 
·        экономический анализ полученного решения. 
Применительно к нашему примеру на первом этапе вводим условные обозначения, необходимые для решения задачи (Табл. 1.15.). 
Здесь х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, обозначают соответственно количество изделий (штук) определенного размера, раскроенных из полотна шириной 86 и 89 см. Умножив количество изделий на нормы отхода, получим общую величину отходов производ­ства. Они должны быть минимальны. Тогда  целевая функция имеет вид: 
min: F(x) = 66,27 х1 + 75.5х2 + 78.4х3 + 95.6х4 + 
+ 94.2х5 + 97.49х6 + 105.7х7 + 108.77х8. 
Задача состоит в нахождении таких хj (j= ), при которых целевая функция (1.1) достигнет минимума и выполняются сле­дующие условия: 
520,27х1 + 553,5х2 + 597,4х3 + 605,4х4 = 200000; 
526,42х5 + 553,49х6 + 627,7х7 + 647,77х8 = 300000; 
х1 +  х2 +  х3 +  х4 + х5 + х6 + х7 + х8  - х9 = 0; 
х1 + х5 – 0,2538х9 = 0; 
х2 +х6 – 0,2788х9 = 0; 
х3 + х7 – 0,2420х9 = 0 
х4 + х8 – 0,2254х9 = 0; 
. 
Здесь х9 – суммарный выпуск курток. Тогда условия (1.4) и (1.5) означают, что полотна шириной 86 см должно быть из­расходовано 200 кг, а полотна шириной 89 см - 300 кг; (1.6)­ – условие суммарного выпуска изделий; условия (1.7) – (1.10) означают сбалансированность раскроя изделий по соответствую­щим размерам; (1.11) – условие неотрицательности объемов производства. 
На втором этапе каждой переменной, ограничениям, целе­вой функции и вектору ограничений (коэффициенты свободных членов) присваиваются «имена», которые должны включать не более восьми символов. Удобно, чтобы имена были информатив­ными, так как при этом облегчается использование выходных отчетов. 
Элементы модели и присваиваемые им имена: 

На третьем этапе составляем матричную модель с имено­ванными элементами модели (Приложение 2).  . 
На четвертом этапе введем исходные данные в ПЭВМ. При этом ввод осуществляется в соответствии с инструкцией к име­ющемуся пакету прикладных программ. 
При завершении ввода исходной информации возможна ее распечатка для визуального контроля. По результатам контро­ля производится корректировка исходной информации и пере­ход на режим расчета. 
Пятый этап. Решение задачи Возможно в двух режимах: решение прямой задачи; решение прямой и двойственной задач. При этом решение можно производить поэтапно, с выдачей проме­жуточных результатов алгоритма симплекс-метода, по которым можно судить о качественном процессе поиска оптимального ре­шения. По завершении результатов расчета устанавливается ре­жим распечатки (как прямой задачи, так и двойственной). 
Так, в режиме расчета прямой задачи получим следующее решение, предварительно округлив результаты до целых: 
ПР 1 = 150; ПР 2 = о; ПР 3 = 204; ПР 4 = о; ПР 5 = 64; ПР 6 = 235; ПР 7 = о; ПР 8 = 190; ПР 9 = 843. 
Отходы = 75 743; Полотно 1 = 200 000; Полотно 2 300 = 000. 
Следовательно, необходимо раскроить из полотна шириной 86 см 150 курток 44 размера и 204 куртки 52 размера, а из полот­на шириной 89 см - 64 куртки 44 размера, 235 курток 46 раз­мера и 190 курток 54 размера. Общий объем производства соста­вит 843 куртки. Суммарные отходы при таком варианте раскроя составят 75743 г, а ресурсы будут использованы полностью. 
В режиме решения двойственной задачи получим значения двойственных оценок ресурсов: 
             Полотно 1 = 0,12996                                      Полотно 2 = 0,16616 
Как видим, двойственные оценки объемов ресурсов отличны от нуля, следовательно, они «дефицитны». Их абсолютная ве­личина говорит о том, что увеличение объема ресурса на едини­цу приводит к качественному изменению целевой функции (1.1) на величину этой оценки. Следовательно, оценки можно счи­тать количественной мерой дефицита ресурсов: чем больше оценка, тем к большему эффекту приводит увеличение объема использования данного ресурса. 
Одновременно с этим получим двойственные оценки произ­водимой продукции: 
ПР 1 = о; ПР 2 = 4,70818; ПР 3 = о; ПР 4 = 4; ПР 5 = о; ПР 6 = о; ПР 7 = 0,73815; ПР 8 = о. 
Здесь двойственные оценки ПР 2, ПР 4, ПР 7 принимают ну­левые значения. Абсолютные значения этих оценок говорят о том, что если мы все же будем раскраивать соответствующие изделия, потери от отходов будут только увеличиваться на ве­личину оценки от раскроя одной единицы изделия. Следова­тельно, раскраивать куртки 46 и 54 размеров из полотна 86 см нецелесообразно, точно так же как и куртки 52 размера - из по­лотна шириной 89 см. 
Теперь сопоставим нормативные отходы при традиционном ва­рианте раскроя с отходами при оптимальном варианте (табл. 1.16). 

Из таблицы видно, что наиболее рационален раскрой из по­лотна шириной 86 см изделий 44 и 52 размеров, а из полотна шириной 89 см - 44, 46 и 54 размеров. Такой способ раскроя уменьшает отходы, увеличивает выпуск изделий, прибыль предприятия и его рентабельность. 
Отметим, что в современных пакетах прикладных программ для решения задач линейного программирования симплекс-ме­тодом предусмотрены режимы расчета так называемых интер­валов устойчивости, как для ограниченных ресурсов, так и для 
переменных величин, принимающих ненулевые значения. Эко­номический смысл этих интервалов состоит в том, что измене­ние объемов ресурсов и значений переменных в пределах этих интервалов не изменяет структуру оптимального плана. Это позволяет предприятию проводить рациональную политику приобретения дополнительных ресурсов. 

БАЛАНСОВЫЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В АНАЛИЗЕ СВЯЗЕЙ ВНУТРИЗАВОДСКИХ ПОДРАЗДЕЛЕНИЙ И В РАСЧЕТАХ ЗАТРАТ И ЦЕН. Балансовая модель - это система уравнений, характеризую­щих наличие ресурсов (продуктов) в натуральном или денежном выражении и направления их использования. При этом нали­чие ресурсов (продуктов) и потребность в них количественно совпадают. В основу решения таких моделей положены методы линейной векторно-матричной алгебры. Поэтому балансовые методы и модели называют матричными методами анализа. Наглядность изображений различных экономических процес­сов в матричных моделях и элементарные способы разрешения систем уравнений позволяют применять их в различных произ­водственно-хозяйственных ситуациях. 
Пусть, например, известно, что каждое предприятие наряду с основным производством имеет вспомогательное, включающее в себя ряд цехов. Вспомогательные цехи оказывают услуги друг другу и основному производству. Величина себестоимости работ и услуг каждого вспомогательного цеха складывается из работ (услуг) других вспомогательных цехов. Чтобы определить зат­раты, связанные с использованием данным цехом работ (услуг) других цехов, надо наряду с объемом предоставленных работ (услуг) знать их себестоимости. Но, в свою очередь, определение этих себестоимостей невозможно без предварительного исчисле­ния себестоимости работ (услуг), которые цехи получили друг от друга. 
Механизм использования балансового метода покажем на сле­дующем примере. Пусть на предприятии наряду с основным про­изводством имеется четыре вспомогательных цеха - цех сетей и подстанций, цех водоснабжения, автопарк, ремонтно-механиче­ский цех. Все они оказывают услуги друг другу (табл. 1.17).