Математическое программирование

После того, как функция  Беллмана и соответствующие оптимальные  управления найдены для всех шагов  с n-го по первый, производится второй этап решения задачи, который называется безусловной оптимизацией. 

В общем виде задача динамического программирования формулируется  следующим образом: требуется определить такое управление X*, переводящее  систему из начального состояния S0 в конечное состояние Sn, при котором целевая функция F(S0,X*) принимает наибольшее (наименьшее) значение. 

Особенности математической модели динамического программирования заключаются в следующем: 

задача оптимизации  формулируется как конечный многошаговый процесс управления; 

целевая функция  является аддитивной и равна сумме целевых функций каждого шага; 

выбор управления Xk на каждом шаге зависит только от состояния системы к этому шагу Sk-1 и не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи); 

состояние системы  Sk после каждого шага управления зависит только от предшествующего состояния системы Sk-1 и этого управляющего воздействия Xk (отсутствие последействия) и может быть записано в виде уравнения состояния: 

на каждом шаге управление Xk зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние системы Sk зависит от конечного числа переменных; 

оптимальное управление X* представляет собой вектор, определяемый последовательностью оптимальных  пошаговых управлений:

X*=(X*1, X*2, …, X*k, …, X*n),

число которых и определяет количество шагов задачи. 

Условная оптимизация. Как уже отмечалось выше, на данном этапе отыскиваются функция Беллмана и оптимальные управления для  всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего в соответствии с алгоритмом обратной прогонки. На последнем n-м шаге найти оптимальное  управление X*n и значение функции  Беллмана Fn(S) не сложно, так как

Fn(S)=max{Wn(S,Xn)},

где максимум ищется по всем возможным значениям Xn. 

Дальнейшие вычисления производятся согласно рекуррентному  соотношению, связывающему функцию  Беллмана на каждом шаге с этой же функцией, но вычисленной на предыдущем шаге: 

Fk(S)=max{Wk(S,Xk)+Fk+1(S'(S,Xk))}. (1) 

Этот максимум (или  минимум) определяется по всем возможным  для k и S значениям переменной управления X. 

Безусловная оптимизация. После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные  управления найдены для всех шагов  с n-го по первый (на первом шаге k=1 состояние системы равно ее начальному состоянию S0), осуществляется второй этап решения задачи. Находится оптимальное управление на первом шаге X1, применение которого приведет систему в состояние S1(S,x1*), зная которое можно, пользуясь результатами условной оптимизации, найти оптимальное управление на втором шаге, и так далее до последнего n-го шага. 

Постановка задачи линейного программирования и двойственная задача линейного программирования.

 Линейное программирование  является составной частью раздела  математики, который изучает методы  нахождения условного экстремума  функции многих переменных и  называется математическим программированием.  В классическом математическом  анализе рассматривается задача  отыскания условного экстремума  функции. Тем не менее, время  показало, что для многих задач,  возникающих под влиянием запросов  практики, классические методы недостаточны. В связи с развитием техники,  ростом промышленного производства  и с появлением ЭВМ все большую  роль начали играть задачи  отыскания оптимальных решений  в различных сферах человеческой  деятельности. Основным инструментом  при решении этих задач стало  математическое моделирование —  формальное описание изучаемого  явления и исследование с помощью  математического аппарата.

 Искусство математического  моделирования состоит в том,  чтобы учесть как можно больше  факторов по возможности простыми  средствами. Именно в силу этого  процесс моделирования часто  носит итеративный характер. На  первой стадии строится относительно  простая модель и проводится  ее исследование, позволяющее понять, какие из существенных свойств  изучаемого объекта не улавливаются  данной формальной схемой. Затем  происходит уточнение, усложнение  модели.

 В большинстве  случаев первой степенью приближения  к реальности является модель, в которой все зависимости  между переменными, характеризующими  состояние объекта, предполагаются  линейными. Здесь имеется полная  аналогия с тем, как весьма  важна и зачастую исчерпывающая  информация о поведении произвольной  функции получается на основе  изучения ее производной —  происходит замена этой функции  в окрестности каждой точки  линейной зависимостью. Значительное  количество экономических, технических  и других процессов достаточно  хорошо и полно описывается  линейными моделями.

 Основные формы  задачи ЛП.

 Различают три  основные формы задач линейного  программирование в зависимости  от наличия ограничений разного  типа.

 Стандартная задача  ЛП.

Стандартная задача важна ввиду наличия большого числа прикладных моделей, сводящихся наиболее естественным образом к  этому классу задач ЛП.

 Каноническая  задача ЛП.

Основные вычислительные схемы решения задач ЛП разработаны  именно для канонической задачи.

Все три перечисленные  задачи эквивалентны в том смысле, что каждую из них можно простыми преобразованиями привести к любой  из двух остальных.

 При изучении  задач ЛП сложилась определенная терминалогия. Линейная форма , подлежащая максимизации (или минимизации) , называется целевой функцией. Вектор , удовлетворяющий всем ограничениям задачи ЛП, называется допустимым вектором, или планом. Задача ЛП, для которой существуют допустимые векторы, называется допустимой задачей. Допустимый вектор , доставляющий наибольшее значение целевой функции по сравнению с любым другим допустимым вектором , т.е. , называется решением задачи, или оптимальным планом. Максимальное значение целевой функции называется значением задачи. 

Исследование различных, в том числе и экономических, процессов обычно начинается с их моделирования, т.е. отражения реального  процесса через математические соотношения. При этом производится составление  уравнений или неравенств, связывающих  различные показатели (переменные) исследуемого процесса, которые образуют систему ограничений. 

В этих соотношениях выделяются такие переменные, меняя  которые, можно получить оптимальное  значение основного показателя данной системы (прибыль, доход, затраты и  т.п.). Соответствующие методы, позволяющие  решать указанные задачи, объединяются в общее название «математическое  программирование» или «математический  метод» исследования операций. 

Математическое программирование включает в себя такие разделы  математики как линейное, нелинейное и динамическое программирование. Сюда же обычно относят стохастическое программирование, теорию игр, теорию массового обслуживания, теорию управления запасами и некоторые  другие. 

Итак, математическое программирование — это раздел высшей математики, занимающийся решением задач, связанных с нахождением экстремумов  функций нескольких переменных при  наличии ограничений на переменные. 

Методами математического  программирования решаются задачи распределения  ресурсов, планирования выпуска продукции, ценообразования, транспортные задачи и т.п. 

Математическое программирование возникло в 30-е годы XX века. Венгерский математик Б.Эгервари в 1931 году решил задачу, называемую проблемой выбора. Американский ученый Г.У. Куй обобщил этот метод, после чего он получил название венгерского метода. В 1939 году российский ученый Л.В. Канторович разработал метод разрешающих множителей решения задач линейного программирования. Большой вклад в развитие математического программирования внесли американские ученые. В 1949 году американский ученый Дж. Данциг опубликовал один из основных методов решения задач линейного программирования, получивший название симплексный.

Составление математической модели экономической задачи включает следующие этапы: 1) выбор переменных задачи; 2) составление системы ограничений; 3) выбор целевой функции.

Переменными задачи называются величины x1, x2, х3,..., xn, которые полностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записывают в виде вектора X=(x1, x2, x3,…., xn)

Система ограничений  включает в себя систему уравнений  и неравенств, которым удовлетворяют  переменные задачи и которые следуют  из ограниченности ресурсов или других экономических или физических условий, например, положительности переменных и т.п.

Целевой функцией называют функцию переменных задачи, которая  характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти. 

Таким образом, общая  задача математического программирования формулируется следующим образом: найти экстремум целевой функции  задачи

Z(X) = f (x1, x2, x3,…., xn)max(min)             (6.4.13)

и соответствующие  ему переменные при условии, что  эти переменные удовлетворяют системе  ограничений

(x1, x2, x3,…., xn ) =0, i=1,2,..,l                          (6.4.14)

(x1, x2, x3,…., xn ) >(<) 0, i = l +1, l+2,…,m     (6.4.15)

Если целевая функция (6.4.13)и система ограничений (6.4.14), (6.4.15) являются линейными, то задача математического  программирования называется задачей  линейного программирования,

В общем случае задача линейного программирования может  быть записана в следующем виде:

  
 
 

Это позволяет найти  экстремум целевой функции задачи (6.4.16) и соответствующие ему переменные X=(x1, x2, x3,…., xn) при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений (6.4.17) и условиям неотрицательности (6.4.18).

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой п-мерный вектор X=(x1, x2, x3,…., xn), удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.

Множество допустимых решений (планов) задачи образует область  допустимых решений (ОДР). Оптимальным  решением (планом) задачи линейного  программирования называется такое  допустимое решение    (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума. 

Так как в данном случае решается задача на экстремум, то возникает вопрос о возможности  использования классических методов  исследования на экстремум функции  многих переменных. Первым шагом в  этом направлении является использование  необходимого условия экстремума функции, которое состоит в том, что  частные производные функции  многих переменных или равны нулю, или не существуют. В данном случае

i=1, 2,…,n .

Но если все сi = 0, то и Z = 0, т.е. экстремум функции не обнаруживается. Связано это с тем, что производную можно использовать для определения экстремума только во внутренних точках области решений, а в данном случае экстремум, как будет показано ниже, находится на границах области. Отсюда и возникает необходимость разработки специальных методов поиска экстремума.