Модель Леонтьева "Затраты-выпуск"

§6.2. Модель Леонтьева "Затраты-выпуск"

Подставляя технологические  коэффициенты в (6.1.1), для каждой отрасли получаем балансовое соотношение

С помощью технологической  матрицы 

эту систему  уравнений можно написать в векторной  форме:

Уравнение (6.2.1), где A - постоянная технологическая матрица, - известный вектор спроса, - неизвестный вектор выпуска, называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение Ax как затраты, эту систему часто называют моделью "Затраты-выпуск".

Модель Леонтьева  призвана ответить на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос? Ответ на этот вопрос сводится к существованию решения системы

относительно  переменных . Условия существования и единственности решения такой системы хорошо известны из курса алгебры. Однако здесь речь идет о решении этой системы, имеющем подходящий экономический смысл. А именно, все элементы модели Леонтьева по их определению являются неотрицательными величинами, в том числе переменные . Поэтому мы должны говорить о существовании неотрицательных решений системы (6.2.1).

Определение 6.1. Модель Леонтьева называется продуктивной, если система (6.2.1) имеет неотрицательное решение , .

Перепишем систему (6.2.1) в виде . Тогда или

где E - единичная -матрица. Теперь видно, что существование неотрицательного решения системы (6.2.1) определяется существованием невырожденной матрицы , обратной к матрице .

Напомним, что  матрица называется невырожденной, если она имеет обратную матрицу , определяемую условиями . Матрица B является невырожденной в том и только в том случае, если , где - детерминант (определитель) матрицы B. Обратная матрица существует и неотрицательна, если все главные миноры матрицы B положительны (условие Хокинса-Саймона):

Для того чтобы  применить эти условия существования и невырожденности к матрице , приведем ряд дополнительных построений.

Система (6.2.1) является частным случаем (при ) более общей системы

где . Рассмотрим следующую, связанную с уравнением (6.2.3), систему

где D - -матрица с элементами

Если  для всех i,j , то систему (6.2.3) можно преобразовать в (6.2.4) , положив , где - символ Кронекера. Обратно, система (6.2.4) может быть преобразована в (6.2.3) . Для этого нужно взять достаточно большое положительное число ( ) и положить . Отсюда , причем .

Следовательно, если мы найдем условия существования  неотрицательного решения системы (6.2.4) , то тем самым докажем продуктивность модели Леонтьева, получаемой из (6.2.3) при .

Справедливы следующие  утверждения.

Теорема 6.1. Матрица D системы (6.2.4) , элементы которой удовлетворяют условиям (6.2.5) , неотрицательно обратима тогда и только тогда, когда уравнение (6.2.4) имеет неотрицательное решение (т.е. продуктивно).

(Квадратная  матрица D называется неотрицательно обратимой, если она невырожденна и ее обратная матрица неотрицательна).

Теорема 6.2. Уравнение (6.2.4) продуктивно тогда и только тогда, когда матрица удовлетворяет условию Хокинса-Саймона, т.е. все главные ее миноры положительны.

Из приведенных  утверждений следует, что необходимым  и достаточным условием продуктивности модели Леонтьева (6.2.1) является существование неотрицательно обратимой матрицы , т.е. чтобы матрица была невырожденна ( ) и чтобы обратная матрица была неотрицательна.

Итак, если эти  условия выполнены, то искомый вектор выпуска x определяется по формуле (6.2.2) . Матрица предоставляет информацию о том, каким образом вектор конечного спроса c пересчитывается в необходимый вектор валового выпуска x. Из линейности модели Леонтьева по x и c следует, что приращение вектора c и соответствующее приращение вектора x связаны между собой уравнением . Следовательно, матрица позволяет вычислить изменение валового выпуска, вызванное изменением конечного потребления. Поэтому матрицу часто называют матричным мультипликатором. Элемент матричного мультипликатора (обозначим через ) можно интерпретировать как количество продукта одного вида, необходимое для выпуска одной единицы продукции другого вида.

Известно, что  матрицу  можно представить в виде степенного ряда матриц:

где ,

,

и т.д. Видим, что вычисление (аппроксимация) обратной матрицы  связано со сходимостью бесконечного степенного ряда

Если матрица  неотрицательно обратима, то ряд (6.2.6) сходится, т.е. сумма (6.2.6) конечна и равна .

Подытоживая сказанное, мы можем утверждать, что для продуктивной модели Леонтьева вектор валового выпуска x представляется матричным рядом

Здесь слагаемые Ac, , ... интерпретируются как промежуточные затраты, а именно, Ac - затраты, необходимые для производства (выпуска) c , - затраты, необходимые для производства (выпуска) Ac и т.д. Содержательный смысл этой последовательности таков: для того чтобы получить чистый выпуск c , нужно затратить вектор продуктов Ac; затем, чтобы произвести в системе этот набор продуктов Ac , придется дополнительно затратить и т.д. Сумма вектора чистого выпуска c (вектора конечного потребления) и всех векторов промежуточных затрат (производственного потребления) и составляет вектор валового выпуска. Из предыдущего равенства следует, что решение уравнения (6.2.1) можно получить итерационно по формуле

с начальным  условием .

Важным следствием модели Леонтьева являются результаты, получаемые с применением двойственной к ней модели

где - транспонированная матрица A . Уравнению (6.2.7) можно придать смысловую стоимостную окраску. Действительно, можно интерпретировать как вектор цен продуктов отраслей, - как вектор добавленной стоимости (т.е. прибавка к стоимости товара после ее производства) на единицу выпуска, - как вектор суммы издержек на единицу выпуска. Тогда разность есть вектор чистого дохода от единицы выпуска. Этот чистый доход и приравнивается добавленной стоимости .

Существование решения двойственного уравнения (6.2.7) относительно вектора цен связано опять с неотрицательностью всех его элементов.

Если уравнение (6.2.7) имеет неотрицательное решение , то двойственная модель Леонтьева называется прибыльной. Это свойство является двойственным к понятию продуктивности модели Леонтьева в том смысле, что выполнение одного из свойств влечет справедливость другого. Данное положение является следствием наличия тесной математической связи между взаимно двойственными уравнениями (6.2.1) и (6.2.7) . Действительно, рассмотрим "двойственные" к (6.2.3) и (6.2.4) уравнения

такие что (6.2.7) является частным случаем (при ) уравнения (6.2.8) , а (6.2.8) и (6.2.9) , как и (6.2.3) и (6.2.4) , взаимно преобразуемы друг в друга. Тогда для матрицы справедливы утверждения, аналогичные теоремам 6.1 и 6.2, а также следующая теорема.

Теорема 6.3. Для того чтобы модель Леонтьева (6.2.1) была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы двойственная к ней модель (6.2.7) была прибыльной.

Мы здесь рассмотрели  классическую (исходную) модель Леонтьева, которая описывает производство по схеме затраты-выпуск. Значимость модели Леонтьева заключается еще и в том, что она применяется для описания ряда других экономических задач, а также служит отправной точкой для различных обобщений. В качестве подтверждения этого приведем интерпретацию уравнения (6.2.1) как модели международной торговли и модификацию модели Леонтьева как оптимизационной задачи.

При трактовке уравнения (6.2.1) как модели торговли n означает число торгующих между собой стран, - национальный доход i-ой страны, - национальные расходы i -ой страны, - объем импорта из страны i в страну j , приходящийся на одну единицу национального дохода страны j. Элементу придается смысл коэффициента внутреннего потребления своей продукции i -ой страной.

И в такой  интерпретации, очевидно, все элементы модели Леонтьева должны быть неотрицательными и, более того, национальный доход  и национальные затраты всегда являются положительными величинами. В данном случае модель (6.2.1) дает ответ на вопрос: каковы должны быть объемы национальных доходов стран, обеспечивающие стабильный уровень национальных расходов и установившийся режим обмена товарами между странами?

Выше было замечено, что одним из существенных упрощений  модели Леонтьева является отсутствие в ней первичных (невозобновляемых) факторов производства. Модель будет  более близкой к реальности, если наряду с воспроизводимыми (вторичными) ресурсами, описываемыми в (6.2.1) произведением Ax, будут учтены и первичные факторы. Оказывается, такое обобщение превращает модель Леонтьева в оптимизационную задачу.