Построение и анализ множественной линейной эконометрической модели

 «Построение и анализ множественной линейной эконометрической модели» 

     Цель: закрепление теоретического и практического материала по теме «Множественная регрессия», приобретение навыков построения и анализа многофакторных эконометрических моделей в модуле Multiple Regression. 

     Задание: необходимо проверить наличие множественной связи между признаками:

1. Построить линейную многофакторную эконометрическую модель и определить все ее характеристики (параметры модели, средне квадратические отклонения параметров модели, дисперсию и средне квадратическое отклонение ошибок модели, коэффициенты множественной корреляции и детерминации).
2. Проверить статистическую значимость параметров модели. Проверить адекватность модели с помощью критерия Фишера.
3. Проверить модель на наличие мультиколлинеарности. Оценить существенность мультиколлинеарности.
4. Привести результати исследования модели по критерию Дарбина-Уотсона. Сделать вывод о наличии автокорреляции. Построить гистограмму и график распределения ошибок.
5. Найти прогнозное значение зависимой переменной и доверительные интервалы.

 
 

Вариант 5 

     Таблица исходных данных  по банкам Украины  представлена на рис. 1.

     

     Рис. 1 Исходные данные 

     Где Х1, Х2, Х3, Х4 — независимые переменные (коэффициент надежности, крос-коэффициент, коэффициент защищенности капитала, коэффициент ликвидности коммерческого банка), Y—зависимая переменная (коэффициент фондовой прибыли).

     В модуле Multiply Regression выберем переменные для анализа (рис. 2).

     

     Рис. 2 Выбор переменных для анализа 

     Построим  линейную многофакторную модель и рассчитаем основные ее характеристики. Проверим статистическую значимость модели  и адекватность модели по критерию Фишера. Результаты расчета представлены на рис. 3.

     

     Рис. 3 Результаты многофакторного регрессионного анализа 

     Построенная модель имеет вид: 

     Связь между переменными статистически  значима, так как коэффициент  регрессии равен 0,93. Коэффициент детерминации равен 0,858. Это говорит о том, что 85, 85% общего изменения коэффициента фондовой прибыли объясняется изменением коэффициента надежности, крос−коэффициента,  коэффициента защищенности капитала и коэффициента ликвидности коммерческого банка, в то время как на другие факторы приходиться 14, 15%.

     Дисперсия ошибок незначительна и составляет 0, 19.

     Значение  рассчитанного критерия Фишера равно 30,334. Табличное значение критерия Фишера равно 2,87, что говорит о том, что  построенная модель является статистически  значимой, то есть зависимость между  переменными существенная.

     Критическое значение критерия Стьюдента равно1,78. Это значит, что параметры а0, а2, а3, а4 являются статистически значимыми.

     Для проверки значимости регрессионной  модели используем дисперсионный анализ. Для этого на вкладке Advanced окна Multiply regression активируем кнопку ANOVA. Результаты дисперсионного анализа представлены на рис. 4

     

     Рис. 4 Таблица дисперсионного анализа 

     Сумма квадратов регрессии равна 4,608, сумма квадратов отклонений равна 0,759.

     Следующим шагом исследования многофакторной регрессионной модели будет проверка на мультиколлинеарность.  Для этого рассчитаем матрицу парных корреляций. В окне Basic Statistic инициируем опцию Correlation Matrices (рис. 5).  Матрица коэффициентов парных корреляций представлена на рис. 6. 

     

     Рис. 5 Окно Basic Statistic 

     

     Рис. 6 Матрица коэффициентов парных корреляций 

     Матрица коэффициентов парных корреляций показывает тесноту связи между признаками. Видно, что между 2 и 4 факторами слабая связь, в то время как 3 и результирующий фактор тесно связаны между собой. Это значит, что на значение коэффициента фондовой прибыли большое влияние  оказывает изменение коэффициента защищенности капитала.

     Инициировав кнопку Scatterplot matrix, получим гистограммы и диаграммы рассеянья точек исследуемых переменных в модели  (рис. 7). 

     

     Рис. 7 Гистограммы и диаграммы рассеянья  исследуемых переменных 

       Для более детально анализа необходимо рассчитать коэффициенты частных корреляций и критерий максимального правдоподобия для каждой независимой переменной. Получим таблицу, изображенную на рис. 8. 

     

     Рис. 8 Значимость переменных в уравнении  регрессии 

     Данная  таблица содержит стандартизованные  значения коэффициентов регрессии, частных корреляций, коэффициент детерминации, значение критерия Стьюдента и уровень значимости. Табличное значение критерия Стьюдента равно 1,725. Это значит, что факторы Х1 и Х3 являются статистически значимыми (их влияние на результирующую переменную существенно).

     Оценить влияние независимых переменных на результирующую переменную можно с помощью кнопки Redundancy (рис. 9). 

     

     Рис. 9 Оценка излишка независимых переменных 

     Для оценки степени мультиколлинеарности по алгоритму Феррара-Глобера используются частные коэффициенты корреляции между факторными переменными и их статистическая значимость. Для их расчета исследуем модель без зависимой переменной, сделав одну из факторных переменных зависимой (рис. 10). 

     

     

     

     Рис. 10 Оценка уровня связи между независимыми переменными 

     Значения  коэффициентов частных корреляций равны: 
 

     Значимость  частных коэффициентов корреляций определяется по критерию Стьюдента: 
 

     Можно сделать вывод, что между коэффициентом  надежности и коэффициентом ликвидности коммерческого банка существует мультиколлинеарность.

     Для исследования общей мультиколлинеарности с помощью метода Феррара_Глоберра используем фориулу:  
 

     Рассчитанное  значение сравним с табличным  для уровня значимости 0,05 и степеней свободы 0,5m(m-1).

     

     Анализируя  полученный результат, можно сделать  вывод, что модель подвержена эффекту  мультиколлинеарности.

     Проверим  модель на наличие мультиколлинеарности с помощью величины определителя матрицы . Для этого стандартизируем данные и получим матрицу z. 
 

     С помощью функций Excel транспонируем стандартизованную матрицу коэффициентов системы уравнений, получим матрицу 4x25. После умножение матриц получим следующую величину: 
 
 

     Найдем  определитель полученной матрицы с  помощь встроенной функции Excel =МОПРЕД. 

      

     Определитель  матрицы близок к нулю, значит можно  говорить о наличии мультиколлинеарности между признаками. 

     Проверим  модель на наличие мультиколлинеарности с помощью определения минимального собственного числа матрицы коэффициентов  системы уравнений. Составим матрицу А:

     

 

     С помощью функции Eigenvals пакета MathCad рассчитаем вектор собственных чисел матрицы А:

     

 
 

       → можно говорить о наличии мультиколлинеарности между факторами модели. 

     Еще одним способом проверки мультиколлинеарности является мера обусловленности по Нейману-Гольдштейну. Она заключается в нахождении отношения максимального собственного числа матрицы коэффициентов системы уравнений к минимальному:  
 

     Для расчета используем полученный ранее  вектор стандартизированных значений. 

     —число велико, следовательно можно говорить о наличии мультиколлинеарности между признаками. 
 

     В условиях мультиколлинеарности  независимых  переменных эффективным методом  оценки параметров эконометрической модели является реализация пошаговой регрессии, которая предполагает оценку параметров модели через коэффициенты корреляции.

     В модуле Multiply Regression на вкладке Advanced осуществляем выбор методов (пошагового включения или пошагового включения) путем инициирования опции Advanced Options (stepwise or ridge regression) (рис. 11).

     

     Рис. 11 Выбор метода пошаговой регрессии

     На  вкладке Stepwise выбирается метод оценивания, пороговые значения F-критерия включения или исключения, последовательность представления результатов (рис. 12)  

     

     Рис. 12 Выбор методов оценки параметров 

     Последовательность  реализации методов пошагового включения  показана на рис. 13 и 14. 
 
 

Рис. 13 Реализация модели пошагово включения: шаг 0 и 1 
 

Рис. 14 Реализация модели пошагово включения: шаг 2 и 3 

     После окончания процедуры пошаговой  регрессии выберем опцию Stepwise regression summary (рис. 14)

 

Рис. 14 Результаты пошаговой регрессии включения 

Анализ  результатов пошаговой регрессии  включения представлен на рис. 15. 

Рис. 15 Анализ результатов пошаговой регрессии  включения 

     В результате процедуры пошагового включения  переменных в регрессионную модель получено следующее уравнение: 
 

     Переменная  x₄ не была включена в модель. Коэффициенты при переменных 2 и 3 (крос−коэффициент и  коэффициент защищенности капитала) не значимы по уровню 0,05 (p-level>0,05). Это уравнение объясняет 42,49% (R²=0,42487) вариации зависимой переменной. Средняя ошибка составляет 0,35783. В целом модель адекватна (.

     Последовательность  результатов метода Пошагового исключения представлена на рис. 16 и 17 

Рис. 16 Реализация модели пошагово исключения: шаг 0 и 1 

     Рис. 17 Реализация модели пошагово исключения: шаг 2 и 3