Шпаргалка по "Математическому моделированию"

в) Порівняння з чисельними розв’язками інших  авторів. Доцільно провести розрахунки з однаковими вхідними даними. Часто  для оцінки використовують порівняння з експериментом, однак таке порівняння містить серйозну логічну помилку. Справа в тому, що ЧМ використовуються в рамках мат.моделі. експериментальні дані стосуються поведінки реальних с-м, і тому принципово не можуть бути використані для оцінки похибки мат.розв’язання мат.задачі.

Розробка  алгоритму та комплексу  програмних закладів

Вкажемо відмінність методу, алгоритму та програмного забезпечення (ПЗ). Метод  розв’язання задачі дає принципову схему та основні ідеї, а для  використ.методу треба вказати конкр.послід.дій, яка наз. алгоритмом.

Оцінка  адекватності мат.моделі (ММ)

Під оцінкою  адекватності будемо розуміти цілеспрямовану перевірку р-тів ММ та відповідність  цих р-тів основним рисам поведінки  реальної с-ми. Означимо осн.підходи  до оцінки адекватності ММ:

1. ретроспективна – вона грунтується на використ.вже відомих експерим.даних, отриманих раніше без будь-якого зв’язку з проблемами оцінки адекватності. Слабкою стороною такого підходу є обмежений хар-р експерим.даних;
2. активний метод. Більш ефективний; при такому способі спеціально плануються і проводяться експерименти в реальній с-мі.

Оцінка  роботи ММ в критичних  ситуаціях

Експертна оцінка адекватності використ.коли с-ми ще немає, а лише проектується або  коли проведення експеримента не можливе чи коштує надто дорого, або його проведення руйнує саму с-му. В таких ситуаціях доводиться обмежуватись експертними оцінками. Запрошеній групі фахівців пропонують дати конкретні відповіді на конкр.питання з ММ. Потім ці р-ти узагальнюють і приймається рішення щодо адекватності моделі. Оцінка адекв.містить суб’єктивний ел-т.

Обчислювальний  експеримент – систематичне використання ММ для вивчення поведінки с-ми (коли вже проведена оцінка адекватності і модель визнана адекватною). Фактично обчислювальний експеримент замінює натур.експеримент і має переваги (дешевше, можна оптимізув.пар-ри с-ми).

Вкажемо основні етапи обчислювального  експерименту:

1. формулювання мети експерим.;
2. планування експерименту;
3. обробка р-тів обчисл.експерименту;
4. висновки, формулювання рекомендацій.

Наближення  таблично заданих  ф-ій

розрізняють 2 підходи до поповнення значень таблично заданих ф-ій: інтерполяція – проведення кривої, яка проходить  через всі задані експериментальні точки; та апроксимація – передбачає проведення кривих, які проходять по можливості найближче до табличних значень. Найбільш поширеним критерієм близькості кривої є середньоквадратичне наближення (СКН) і критерій, пов’язаний з мінімізацією максимального відхилення.

Нехай y₁,y₂,..,y_n табличних значень деякої ф-ї в точках x₁,x₂,..,x_n. Нехай у=f(х) – крива, якою ми наближаємо ці дані. Сама крива ще не побудована. Згідно з критерієм найменших квадратів, ф-я f(x) повинна бути подобрана таким чином, щоб ∑^m_i=1(f(x_i)-y_i)²®min найчастіше f(x) записується у вигляді комбінацій відомих ф-ій (поліномів), наприклад, f(x)=∑^m_i=1c_i∙φ_i(x) (φ_i(х) – фіксовані наперед задані ф-ії). Тоді задача зводиться до знаходження чисел c₁,c₂,..,c_n з умови мінімума середньоквадратичного відхилення. Перевага: задача зводиться до розв’язання с-ми лін.алгебр.р-нь (СЛАР). Може виявитись, що в деяких точках відхил.велике, а в деяких мале (нерівномірний хар-р наближення). Коли така ситуація неприйнятна, використ.критерій рівномірного ≈. Суть: f(x) обирається так, щоб max|f(x_i)-y_i|, (i=1,n) – задача мінімаксу. Недолік: задача зводиться до відносно складної проблеми – мінімаксу. Перевага: рівномірний хар-р ≈ (відхилення у всіх точках приблизно однакове). Розглянемо детально проблеми інтерпол.  P(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ, P_n(x_i)=y_i (i=0,n). С-ма (n+1) ЛАР відносно с-ми (n+1) невідомих, така с-ма має 1 розв’язок. Застосування поліномів показало, що досить типовою є ситуація, коли в проміжках між вузлами інтерполяції значення інтерп.полінома істотно відрізняється від значення ф-ії, яку інтерполюють.

причому, зростання степені полінома амплітуда коливань зростає (хоча формально  крива проходить через всі  вузли).

Інтерполяція  сплайнами

Ідея сплайн-інтерполяції полягає в тому, щоб на кожному  проміжку між вузлами, використовується для наближення поліном низького степеню. Так, щоб склеєна з окремих поліномів крива була неперервною і гладкою. Найчастіше використ.кубічний сплайн. На будь-якому з відрізків [x_i,x_i+1] таблично задана ф-ія наближується кубічним поліномом: Р_і3=а₀^(і)х+а₂^(і)х²+а₃^(і)х³ (4 коефіцієнти, відрізків n, отже 4n коеф.). Вимагаємо, щоб значення сплайна в кожному вузлі дорівнювало табличному, це дає 2n умов, вимагаємо, щоб крива не мала розриву у вузлах (була гладкою) (3n-1 умова – резерв з n+1 умови), вимагаємо, щоб була неперервною 2 похідна у вузлі (кривизна змінюється неперервно). Тоді з’являється ще n-1 умова, тобто залишається 2умови (найчастіше – щоб похідна на кінцях дорівнювала 0).

......ПРОПУСК.....

М_і=Р_n3^//(x), M_i=P_n3(x) отже на кожній ділянці друга похідна змінюється за лін.з-ном:

P_n3^//(x)=M_i-1∙(x-x_i-1)/h_i+M_i∙(x_i-x)/h_i

Оск-ки значення М_і буде однаковим зліва і справа, х буде однаковим, то забезпеч.умова неперервн.другої похідної. Проінтегруємо вираз і отримаємо 1 похідну P_n3^/(x). Сталі інтегрування, які з’явл., знах.з умови неперервності 1 похідних. Після цього інтегруємо ще раз, отримуємо значення P_n3(x). Сталі інтегрування знах.з умови, щоб у вузлах сплайн P_n3(x) дорівнював заданим знач. Остаточно для P_n3(x) маємо вираз на і ділянці:

P_n3(x)=M_i-1∙(x_і-x)³/6h_i+M_i∙(x-x_і-1)³/6h_i+(у_і-1-М_і-1h_i²/6)∙(x_і-x)/h_i+(у_і-М_іh_i/6)∙(x-x_i-1)/h_i , x є [x_i-1,x_i]

Для знаходження  коеф. M_i треба розв’язати СЛАР:

h_i/6 М_і-1+(h_i+h_i-1)/3∙M_i+ h_i+1/6 М_і+1=(y_i+1-y_i)/h_i+1-(y_i-y_i-1)/h_i

зауважимо, що невідомих в с-мі n+1, а р-нь n-1, тому 2 невідомих можна обрати довільними. Найчастіше обирають M₀ M_n. Зауважимо, що р-ня містить 3 невідомих величини. Відповідні ненульові ел-ти матриці розташовані вздовж головної діаг. Такі матриці наз.тридіагональними. ефективний метод розв’язання тридіагональних с-м – метод прогонки. Оск-ки діагональний ел-т набагато більше, ніж сума позадіагональних, то це забезпечує збіжність методу Зейделя.

Розв’язання СЛАР високих порядків

Зауважимо, що для с-м високих та надвисоких порядків у більшості випадків значна частина ел-тів матриці с-ми є нульовими. Причому, із збільшенням порядку с-ми доля ненульових елементів зменшується. Тому,ефект.методами будуть лише методи розв’язання с-ми, що враховують саме таку особливість матриці с-ми. Для розв’язання с-м надвисоких порядків все частіше використ.ітераційні методи. Розглянемо метод Зейделя (МЗ) та його ефективну модифікацію – метод послідовної верхньої релаксації.

Метод Зейделя

Розглянемо  с-му. Кожен ітераційний метод  починається з вибору початкового  наближення, тобто задаються конкретні значення невідомих x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾,..,x_n⁽⁰⁾ 
 
 

Знаходимо перше наближення. За x₁⁽¹⁾ обираємо число

x₁⁽¹⁾=-1/a₁₁∙(a₁₂x₂⁽⁰⁾+…+a_1nx_n⁽⁰⁾-b₁)

x₂⁽¹⁾=-1/a₂₂∙(a₂₁x₁⁽¹⁾+…+a_2nx_n⁽⁰⁾-b₂)

Структура розрахункових формул дозволяє уникнути зайвих дій над нулями. Закінчивши 1 ітерацію. Аналогічно виконуємо 2 і т.д. оск-ки інших оцінок похибки немає, то ітерац.процес припиняється тоді, коли різниця між двома сусідніми наближенями стає менше деякого пар-ра похибки. Найчастіше для оцінки різниці застосовують СКН:

Процес  припиняється коли a≤e

Слід підкреслити, що величина e не має ніякого відношення до реальної похибки наближеного розв’язку. Сенс числа e полягає у тому, що чим менше e, тим точніше розв’язок. Практичну величину e підбираємо шляхом обчислювального експерименту. Беруть декілька значень e і зупиняються на такому, при якому потрібні пар-ри розв’язку практично вже не змінюються.

Метод верхньої релаксації (Янг, Франкел)

На відміну  від МЗ, знаходження кожного найближення  для кожної змінної відбувається в 2 етапи: на 1 етапі здійсн.крок МЗ. Знайдене за МЗ значення x_i^(s) ще не вважається значення x_i на s ітерації, тому позначається x_i^*. За x_i^(s) приймається число x_i^(s)= x_i^(s-1)+ω∙( x_i^*- x_i^(s-1)). Множник ω називають пар-ром релаксації. Очевидно, при ω=1 маємо МЗ. При ω<1 – метод нижньої релаксації, ω>1 – верхньої. Дослідження показали, що реальний практичний сенс має метод верхньої релаксації. Для достатнього визначення симетричної матриці с-ми, що збігається для всіх ω з інтервала (0,2), тому логічно ставити питання про знаходження такого ω з цього інтервала, при якому швидкість збіжності максимальна. ω_опт справді існує. Отримані формули для його визначення, але вони не мають реального значення, оскільки треба знати власні матриці с-м, а це ще складніша задача. Практично параметр релаксації ω підбирається шляхом обчисл.експерименту. використ.значень ω близьких до ω_опт в багатьох задачах дозволяє знизити час розв’язання в 20-30 разів у порівнянні з методом Зейделя.