Система линейных уравнений

 

 

1 шаг: а) первую строку не меняем б) из второй вычитаем первую, умноженную на 2 в) третью не меняем, т.к. там неизвестное х₁ и так отсутствует.

2 шаг: а) вторую строку делим на - 4 б) из третьей строки вычитаем новую вторую (поделенную на -4).

3 шаг: делим третью строку на (-7/4).

    Последней матрице соответствует система: 

 

     или х₃ = -2 + 10/7х₄ + 3/7х₅ 
 

    

III Формулы Крамера. 

    Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А 

D = det (a_{i j}) 

и n вспомогательных определителей D _i (i= ), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

    Формулы Крамера имеют вид: 

D × x _i = D _i ( i  =

), (5.4) 

    Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: 

x _i = D _i / D. 

    Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители                  D _i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

    Пример. Решить методом Крамера систему уравнений: 

   x₁ +   x₂ +  x₃ +      x₄ = 5,

   x₁ + 2x₂ -   x₃ +    4x₄ = -2,

   2x₁ -  3x₂ -   x₃ -     5x₄ = -2,

      3x₁ +   x₂ +2x₃ + 11 x₄ = 0. 

Решение. Главный определитель этой системы: 

 

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D _i ( i = ), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_i, столбцом из свободных членов: 

 

 

 

 

    Отсюда x₁ = D ₁/D = 1, x₂ = D ₂/D = 2, x₃ = D ₃/D = 3, x₄ = D ₄/D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)^T. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

IV Матричный метод. 

    Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. 
det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A^-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

    Пример. Решить матричным способом систему уравнений: 

x₁ - x₂ +  x₃ = 6,

2x₁ + x₂ + x₃ = 3

x₁ + x₂ +2x₃ = 5 

    Решение. Обозначим: 

 

    Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. 

 

    Поскольку, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную: 

 

    Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A^-1B. В данном случае 

 

и, следовательно, 

 

    Выполняя действия над матрицами, получим: 

x₁ = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1

x₂ = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2

x₃ = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3 

    Итак, С = (1, -2, 3)^T.

 

Список используемой литературы 

«Матрицы и линейные системы уравнений», Лизунова Н.А.,  Издательство «Физматлит» , 2007г.

«Математика. Линейные уравнения и линейные выражения. Системы линейных уравнений», Юрченко Е.В., Издательство  «М.Айрис», 2007г

«Алгебраические структуры, комплексные числа, системы линейных уравнений, матрицы, определит», Юрченко Е., Слуцкий Л., Издательство «Айрис-прес», 2007г.

«Алгебраические структуры, комплексные числа, системы линейных уравнений, матрицы, определит», Михалев А.В., , Михалев А.А., Издательство «Интуит.РУ», 2009г.