Задача о замене оборудования

Z_k^з=j(t)+ f(0)-p- r(0)               (1.3)

Построим обратную вычислительную схему решения данной задачи методом  ДП.

Обозначим через Z_k(t) условную максимальную прибыль, полученную за n-k+1 шагов использования оборудования с k-гo по n-й шаг включительно, если к k-му шагу возраст оборудования составлял S_k-1 = t лет, при условии, что был выбран оптимальный режим эксплуатации. Соответствующее условное оптимальное управление на k-м шаге обозначим через u_k(t). Условный максимальный доход за последний n-й промежуток составляет

          (1.4)

Сравнив эти две величины для  всех возможных значений t<n, получим значения Z_n(t) и соответствующие значения u_n(t). Предположим, что для всех значений S_k = t известна максимальная прибыль, полученная за n-k шагов с (k+1)-го по n-й включительно. Поэтому основные рекуррентные соотношения можно записать в виде

        (1.5)

 

В уравнении (1.6) величина Z_k+1(1)— условная максимальная прибыль, полученная за n-k шагов, если к началу (k+1)-го шага система находилась в состоянии S_k = 1 (возраст оборудования составлял один год).

Процесс условной оптимизации на каждом шаге, начиная с n-го, сводится к сравнению двух величин в уравнениях (1.4) и (1.5) и выбору наибольшей из них. Этап условной оптимизации заканчивается, как обычно, получением последовательностей функций Z_k(t) и u_k(t).

На этапе безусловной  оптимизации для S₀=t₀ (возраст оборудования в начале процесса) получаем Z_max=Z₁(t₀), а далее по цепочке u₁=u₁(t₀) из (1) находим S₁=t₁ откуда u₂=u₂(t₁), и т. д. Оптимальное управление U=(u₁,u₂, … , u_n) представляет собой набор управлений u^с и u^з.

Замечание. В задаче 1 не рассматривался вопрос о том, что происходит с оборудованием после n лет его эксплуатации. Можно предположить, что n неограниченно велико и, рассматривая процесс для достаточно большого значения n, получить закономерность в оптимальном управлении в виде периодически повторяющихся циклов замены и использования старого оборудования (такой пример будет рассмотрен ниже). Можно также предположить, что после n лет использования оборудование продается и ликвидная стоимость присоединяется к общей прибыли. Во втором случае уравнения (1.4) принимают вид 

при u_n=u^c   

при u_n= u^з

 

Z_n(t)=max                                 (1.6)

 

Рассмотрим некоторую  модификацию задачи 1.

Задача 2 В задаче 1 предположим, что ежегодные затраты на эксплуатацию, ликвидная и начальная стоимость зависят не только от возраста оборудования t, но и от времени, прошедшего с начала процесса. Пусть r_k(t) - затраты на эксплуатацию в течение k-гo года, если со времени последней замены прошло t лет;

j_k(t) - ликвидная стоимость оборудования возраста t лет если оно продается в начале k-гo года; p_k — начальная стоимость оборудования, если оно куплено в начале k-гo года.

Требуется определить оптимальные  сроки замены старого оборудования новым в течение n лет с тем, чтобы минимизировать затраты на его содержание.

Показатель эффективности  в данной задаче - суммарные затраты на эксплуатацию оборудования. Затраты на k-м шаге, как и прежде, зависят от выбранного управления. При управлении u_k=u^c эти затраты равны Z_k^c=r_k(t), а при управлении u_k=u^з составляют Z_k^з= - j(t)+p_k+r_k(0).

 Пусть Z_k(t) — условные минимальные затраты за n—k +1 шагов с k-гo по n-й включительно, если к началу k-гo шага возраст оборудования составлял t лет, при условии, что был выбран оптимальный режим эксплуатации.

Рекуррентные соотношения  для Z_k(t) имеют вид

Z_k(t)= min   (1.7)

Для n–го шага соответсвенно получим

 

Вычислительный процесс строится как и в предыдущей задаче.

Введение в условие задачи функций, оценивающих затраты, выпуск продукции  и стоимость, зависящие не только от возраста t, но и непосредственно от k, т. е. от времени, прошедшего с начала процесса, является косвенным способом учета технического прогресса.

Как уже отмечалось неоднократно, модели ДП очень гибки и в смысле возможностей анализа чувствительности к вариации исходных данных, и в смысле возможностей включения в модель различных модификаций задачи. Так, например, аналогичная модель может быть построена для задач, в которых ежегодно рассматривается более двух вариантов управления («сохранение», «замена», «реконструкция» и т. д.). Можно рассматривать задачи, в которых затраты или прибыль зависят не только от возраста оборудования, но и еще от одного параметра, например, времени, прошедшего после восстановительного ремонта, и т. д.

Некоторые типы таких задач содержатся в упражнениях к этой главе. Рассмотренные в настоящем параграфе и предложенные в качестве упражнений задачи с двумя альтернативными управлениями — «замена» или «сохранение» — и одним параметром состояния — «возрастом» оборудования — относятся к одному из немногих случаев, когда при любой длительности планового периода можно получить решение, не применяя ЭВМ. Конечно, если подобные задачи приходится решать часто, то использовать ЭВМ, безусловно, необходимо.

 

Числовой пример

Решим теперь задачу 2 при заданных конкретных условиях.

Задача 3. Автомашина эксплуатируется в течение шести лет. В начале каждого года может быть принято решение о замене машины новой. Стоимость новой машины на k-м году эксплуатации составляет p_k = 5000 + + 500(k—1) руб. После t лет эксплуатации машину на k-м году можно продать за j(t)=p_k -2^-t руб. Стоимость содержания машины в течение k-го года составляет r_k(t)=0.1p_k(t+1) руб. Найти оптимальный способ эксплуатации машины: когда нужно заменить машину новой, чтобы суммарные затраты (с учетом затрат на покупку новой машины в начале срока эксплуатации и компенсации за счет заключительной продажи) были минимальны.

Процесс эксплуатации машины является шестишаговым. Состояние S_k-1 системы в начале k-го шага характеризуется одним параметром t — возрастом машины. Управление на каждом шаге состоит в выборе одного из двух решении: u^c - эксплуатировать старую машину; u^з —продать старую машину, купить новую (замена).

Модель ДП задачи совпадает с моделью задачи 2. Основные функциональные уравнения, соответствующие уравнениям (1.7) и (1.8), имеют вид

 

 

 

 

 

Запишем последнее уравнение, учитывая заданные в условии функции p_k. Условная оптимизация на 6-м шаге сводится к оптимизации по уравнению

 

 

для всех 0≤ t ≤5. Оптимизацию проведем в табл. 1.

t	750 (t+1) – 8000×2 –(t+1)	4250 – 7500 ×2-t	Z6(t)	u6(t)
0	750 - 4000 = - 3250	4250 – 7500= - 3250	-3250	uc(uз)
1	1500 - 2000 = - 500	4250 - 3750=500	-500	uc
2	2250 - 1000= - 1250	4250 - 1875=2375	1250	uc
3	3000 - 500 =2500	4250 -937,5=3312,5	2500	uc
4	3250 - 250 =3000	4250 - 468,8=3781,2	3500	uc
5	4500 - 125 =4375	4250 - 234,4=4015,6	4015,6	uз

Условная оптимизация на 5—1-м  шагах приведена в табл. 2 согласно уравнениям

 

В 5-м и 8-м столбцах табл. 2 помещены значения

 

и

,

а в 9-м столбце — минимальное из чисел, стоящих в 5-м и 8-м столбцах.

Безусловная оптимизация: Z_min = 17387,5 руб.

"Оптимальное управление: u₁ = u^с®S₁= t₁=1® u₂= u₂(1)= u^c®S₂=t₂ =2®u_з= u_з(2)= u^c®S₃=t₃= 3®u₄= u₄(3)= u^з®S₄= t₄= 1®u₅= u₅(1)= u^c®S₅= t₅= 2®u₆= u₆(2)=u^c (в этой цепочке использовались уравнения состояния (1.1) и последние столбцы табл. 2 и 1).

Оптимальное управление: U= ( и^с, и^с, и^с, и³, и^с, и^с). Следовательно, купленную автомашину следует эксплуатировать в течение трех лет, на 4-м году заменить новой и продолжать использовать оставшееся время.

Таблица 2

k	t (t<k)	50(t+1)* *(k+9)	Zk+1(t+1)	Zk(t, uc)	500(k+9)(1,1- -2-t)	Zk+1(1)	Zk(t, uз)	Zk(t)	uk(t)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5	0	700	-500	200	7700-7000=700	-500	200	200	uc(uз)
	1	1400	1250	2650	7700-3500=4200	-500	3700	2650	uc
	2	2100	2500	4600	7700-1750=5950	-500	5450	4600	uc
	3	2800	3500	6300	7700-875=6825	-500	6325	6300	uc
	4	3500	4015,6	7515,6	7700- -437,5=7262,5	-500	6762,5	6762,5	uз
4	0	650	2650	3300	7150-6500=650	2650	3300	3300	uc(uз)
	1	1300	4600	5900	7150-3250=3900	2650	6550	5900	uc
	2	1950	6300	8250	7150-1625=5525	2650	8175	8175	uз
	3	2600	6762,5	9362,5	7150- -812,5=6337,5	2650	8987,5	8987,5	uз
3	0	600	5900	6500	6600-6000=600	5900	6500	6500	uc(uз)
	1	1200	8175	9375	6600-3000=3600	5900	9500	9375	uc
	2	1800	8987,5	10787,5	6600-1500=5100	5900	11000	10787,5	uc
2	0	550	9375	9925	6050-5500=550	9375	9925	9925	uc(uз)
	1	1100	10787,5	11887,5	6050-2750=3300	9375	12675	11887,5	uc
1	0	5500	11887,5	17387,5				17387,5	uc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Динамическое программирование –  это область математического  программирования, включающая совокупность приемов и средств для нахождения оптимального решения, а также оптимизации каждого шага в системе и выработке стратегии управления, то есть процесс управления можно представить как многошаговый процесс. Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, к которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач. Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

Однако  динамическое программирование имеет  и свои недостатки. В отличие от линейного программирования, в котором  симплексный метод является универсальным, в динамическом программировании такого метода не существует. Каждая задача имеет  свои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболее подходящую методику решения. Недостаток динамического  программирования заключается также  в трудоемкости решения многомерных  задач.  Задача динамического программирования должна удовлетворять два условия. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия, а второе –условием аддитивности целевой функции задачи.

На практике встречаются такие задачи планирования, в которых заметную роль играют случайные  факторы, влияющие как на состояние  системы, так и на выигрыш.   Существует разница между детерминированной  и стохастической задачами динамического  программирования. В детерминированной  задаче оптимальное управление является единственным и указывается заранее  как жесткая программа действий. В стохастической задаче оптимальное  управление является случайным и  выбирается в ходе самого процесса в зависимости от случайно сложившейся  ситуации. В детерминированной схеме, проходя процесс по этапам от конца  к началу, тоже находится на каждом этапе целый ряд условных оптимальных  управлений, но из всех этих управлений, в конечном счете осуществлялось только одно. В стохастической схеме это не так. Каждое из условных оптимальных управлений может оказаться фактически осуществленным, если предшествующий ход случайного процесса приведет систему в соответствующее состояние.

Принцип оптимальности является основой  поэтапного решения задач динамического  программирования. Типичными представителями  экономических задач динамического  программирования являются так называемые задачи  производства  и хранения, задачи распределения капиталовложений,   задачи   календарного   производственного  планирования и другие. Задачи динамического программирования применяются в планировании деятельности предприятия с учетом изменения потребности в продукции во времени. В оптимальном распределении ресурсов между предприятиями в направлении или во времени.

Описание характеристик динамического  программирования и типов задач, которые могут быть сформулированы в его рамках, по необходимости  должно быть очень общим и несколько  неопределенным, так как существует необозримое множество различных  задач, укладывающихся в схему динамического  программирования. Только изучение большого числа примеров дает отчетливое понимание  структуры динамического программирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

 

1.Калихман И.Л, Войтенко М.А. Динамическое программирование в примерах и задачах.- М.: Высшая школа, 1993.

2.Вентцель Е.С. Элементы динамического  программирования.- М.: Наука, 1984.

3. Алабин Б.К. Методы исследования операций.-М.: Статистика, 2001.

4. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании.-М.: Экономика, 1987.

5.Колемаев В.А. Математическая экономика.- М.: Юнити,1998.

6. Лотов А.В. введение в экономико-математическое моделирование.-М.: Наука, 1984.

7. Ромакин М.И. Оптимизация планирования производства: экономико-математические модели и методы.-М.: Финансы и статистика, 1981.

8. Терехов Л.Л. Экономико-математические методы.- М.: Статистика, 1972.

9. Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения. Учебное пособие.-М.:Интер-Синтез, 1997.

10. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование.- М.: Мир, 1967.