Задачи линейного программирования

     Таблица 6

 

     Оптимальный план можно записать так:

      x₄ = 54.55

      x₂ = 10.91

      x₁ = 54.55

      F(X) = 2*54.55 + 3*10.91 = 141.82≈141

     Вывод: Соответственно оптимальный вариант производства изделий является выпуск 54 шт первого изделия и 10 шт. второго изделия в смену. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 2

     Задача  об оптимальном использовании ресурсов

     Условие. Задача об оптимальном использовании ресурсов. Составить экономико-математическую модель (таблица 7):

                                   Таблица 7

 

     Решение.

     Математическая  модель и последовательность расчетов.

     Модель  Леонтьева имеет вид:

     X = AX + Y.         (1)

     Матрица полных материальных затрат B равна:

     B = (E – A)^-1         (2)

     Продуктивность  матрицы A проверяется, по вычисленной  матрице B. Если эта матрица существует и все ее элементы неотрицательны, то матрица A продуктивна.

     Вектор  валового выпуска X рассчитывается по формуле:

     X = BY          (3)

     Межотраслевые поставки продукции xij вычисляются  по формуле

     x_ij = a_ij x_j          (4)

     Для решения задачи межотраслевого баланса  необходимо проделать с помощью Excel следующие операции над матрицами:

     - Умножение матрицы на вектор;

     - Умножение двух матриц;

     - Транспонирование матрицы или  вектора;

     - Сложение двух матриц.

     Для решения задачи введем условия в  таблицы ячейки В2:D4 и F2:F4 (рис 1).

     

     Рис.1. Решение задачи в Excel 

     Следующим шагом решения задачи будет вычисление матрицы коэффициентов полных материальных затрат B. Для этого необходимо заполнить единичную матрицу Е (рис. 1). После заполнения матрицы Е, необходимо вычислить матрицу Е-А, для этого необходимо от матрицы Е отнять значения коэффициентов прямых поставок (=В12-В2 и т.д.).

     Также необходимо вычислить B = (E – A)^-1 , являющейся обратной по отношению к матрице Е – А. для этого необходимо воспользоваться функцией МОБР и в появившемся окне заполнить массив значениями матрицы Е-А, после нажатия комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter, в соответствующих ячейках (B17:D19) появляется значения матрицы В.

     Следующий шагом будет проверка продуктивности матрицы А. Поскольку матрица В найдена, следовательно, она существует. Все элементы матрицы В неотрицательны, поэтому матрица В – продуктивна. После данных операций можно вычислить вектор валового продукта Х. Вычисление вектора валового выпуска X находим по матричной формуле X = BY, в которой матрица В вычислена, а вектор Y задан.

     Вычисление  вектора X = BY (3) производится с помощью операции умножения матриц, а в данном случае – умножения матрицы В на вектор Y. Для этого необходимо ячейки воспользоваться функцией МУМНОЖ. В открывшимся диалоговом окне появятся два свободных поля: Массив1 и Массив2. В Массив 1 заполняются данные матрицы В, а в Массив 2 вектор Y, после нажатия комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter, в соответствующих ячейках (F7:F9) появляется значение вектора Х.

     Следующим шагом решения задачи будет Вычисление межотраслевых поставок продукции x_ij. Межотраслевые поставки продукции xij вычисляются по формуле

     x_ij = a_ij x_j,          (4)

     где a_ij – элементы коэффиценты прямых поставок а_ij, расположенной в ячейках В2:D4, x_j – элементы вектора Х, найденного выше и расположенные в ячейках F7:F9. Для проведения вычислений xij необходимо проделать следующее.

     1. Вычислить транспонированный вектор  Х^т относительно вектора Х. При этом вектор-столбец Х станет вектором-строкой Х^т. Это необходимо для согласования размерностей дальнейшего умножения элементов векторов. Для этого воспользуемся функцией ТРАНСП. В появившемся диалоговом окне ТРАНСП введем данные вектор Х (диапазон ячеек D7:D9) в рабочее поле Массив и после нажатия сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter увидим в соответствующих ячейках (F12:H12) транспонированный вектор Х^т.

     2. Вычислим межотраслевые поставки продукции x_ij . Для этого проделать следующие операции: 

     - в ячейке В22, в которой будет расположено значение x₁₁, необходимо набрать формулу =В2*F12, которая означает, что x₁₁ = a₁₁ *x₁ .Аналогично заполняются все ячейки массива В22:D24.

     В результате все межотраслевые поставки продукции будут найдены и  расположатся в матрице с ячейками В22:D24. Они показывают самый оптимальный вариант решения задачи.

     

     Ответ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 3.

Задача  о межотраслевом балансе

     Условие. На основании следующих данных рассчитать объемы валового продукта и межотраслевые потоки, если известны матрица коэффициентов прямых затрат:

     

     и вектор конечных выпусков:

     

     Заполнить таблицу межотраслевого баланса в натуральном выражении. 

     Решение. Задача решается аналогично задача 2.

     Математическая  модель и последовательность расчетов.

     Модель  Леонтьева имеет вид:

     X = AX + Y.         (1)

     Матрица полных материальных затрат B равна:

     B = (E – A)^-1         (2)

     Продуктивность  матрицы A проверяется, по вычисленной матрице B. Если эта матрица существует и все ее элементы неотрицательны, то матрица A продуктивна.

     Вектор  валового выпуска X рассчитывается по формуле:

     X = BY          (3)

     Межотраслевые поставки продукции xij вычисляются  по формуле

     x_ij = a_ij x_j          (4)

     Для решения задачи межотраслевого баланса  необходимо проделать с помощью Excel следующие операции над матрицами:

     - Умножение матрицы на вектор;

     - Умножение двух матриц;

     - Транспонирование матрицы или  вектора;

     - Сложение двух матриц.

     Для решения задачи введем условия в таблицы ячейки А2:В2 и D2:D4 (рис 1).

     

     Рис.2. Решение задачи в Excel 

     Следующим шагом решения задачи будет вычисление матрицы коэффициентов полных материальных затрат B. Для этого необходимо заполнить единичную матрицу Е (рис. 2). После заполнения матрицы Е, необходимо вычислить матрицу Е-А, для этого необходимо от матрицы Е отнять значения матрицы А (=A10-A2 и т.д.).

     Также необходимо вычислить B = (E – A)^-1 , являющейся обратной по отношению к матрице Е – А. для этого необходимо воспользоваться функцией МОБР и в появившемся окне заполнить массив значениями матрицы Е-А, после нажатия комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter, в соответствующих ячейках (A14:D15) появляется значения матрицы В.

     Следующий шагом будет проверка продуктивности матрицы А. Поскольку матрица В найдена, следовательно, она существует. Все элементы матрицы В неотрицательны, поэтому матрица В – продуктивна. После данных операций можно вычислить вектор валового продукта Х. Вычисление вектора валового выпуска X находим по матричной формуле X = BY, в которой матрица В вычислена, а вектор Y задан.