Алгебраические числа

      При х = α из последнего равенства получаем:

        или 

      Умножая обе части равенства на число  т.е. на числитель данной в задаче дроби, получим:

      В принципе мы привели дробь к нужному  виду. Однако можно ещё упростить  полученное выражение, воспользовавшись тем, что р(α) = 0. Разделим с остатком многочлен на р(х), получим: где  

      При х = α имеем: 

      Ответ.

      Операции  над алгебраическими  числами.

      Теорема: Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел a и b (для частного при b¹0) являются алгебраическими числами.

      Доказательство:

1. Пусть a - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого a₁, a₂, … ,a_n, a и b - корень многочлена j(x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого b₁, b₂, … b_m (b=b₁). Рассмотрим многочлен:

      F(x) =(x-a₁-b₁) (x-a₁-b₂) … (x-a₁-b_m)

            (x-a₂-b₁) (x-a₂-b₂) … (x-a₂-b_m)

                - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

            (x-a_n-b₁) (x-a_n-b₂) … (x-a_n-b_m) (1)

      Если  в этом произведении сделать какую  угодно подстановку величин a₁, a₂, … ,a_n, то некоторые строки переставляются местами, но произведение в целом остаётся неизменимым. Это значит, что F(х) – многочлен по отношению к a₁, a₂, … ,a_n. Точно так же подстановка величин b₁, b₂, … b_m  будет менять только порядок столбцов в правой части выражения (1), так что F(х) – многочлен по отношению к b₁, b₂, … b_m  В целом F(x) – многочлен от двух систем аргументов: a₁, a₂, … ,a_n и b₁, b₂, … b_m.

        Коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные  функции от a₁, a₂, … ,a_n и b₁, b₂, … b_m, т.е. через целые коэффициенты, f(x) и j(x). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны, и, следовательно, число a+b=a₁+b₁, являющееся, как это непосредственно видно из формулы (1), корнем F(x), есть алгебраическое число.

2. Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел a и b есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлена (1), рассмотреть многочлен:

      F(x) = (x - a₁b₁) (x - a₁b₂) … (x - a₁b_m)

            (x - a₂b₁) (x - a₂b₂) … (x - a₂b_m)

                 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

               (x - a_nb₁) (x - a_nb₂) … (x - a_nb_m)  (2)

      Этот  многочлен имеет в качестве одного из своих корней a₁b₁=ab.

3. Пусть b - корень многочлена j(x)=b₀xⁿ+ b₁x^n-1+ … b_n, (b_i – целые числа). Тогда -b является корнем многочлена с целыми коэффициентами:
4. j(-x)=(-1)ⁿb₀xⁿ+(-1)^n-1b₁x^n-1+ … bⁿ, а при b¹0 корнем  многочлена xⁿj( )=b₀+b₁x+ … b_nxⁿ. Таким образом, вместе с b алгебраическими числами являются -b и .

      Разность  может быть представлена в виде a+(-b), т.е. в виде суммы двух алгебраических чисел. При b¹0 частное , являясь произведением двух алгебраических чисел, представляет собой так же алгебраическое число.

      Если  степени алгебраических чисел a и b равны m и n, то, взяв в качестве f(x) и j(x) соответствующие минимальные многочлены, будем в (1) и (2) иметь многочлены степени mn, и ab алгебраические числа степени, не большей, чем mn. Многочлены j(x), j(-x), и одинаковой степени, а, следовательно, b, -b, - алгебраические числа одной и той же степени, откуда следует, что и a-b и имеют степени не больше, чем mn. Теорема доказана.[11]

      Пример:

      1) a= и b= , как легко видеть, это алгебраические числа 6-й степени, а произведение ab= - алгебраическое число 3-й степени.