Асимптоты графика функции

 Асимптоты графика функции

 Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.         

 Определение 7.1   Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .      

 Определение 7.2   Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если выполнены два условия:  
1) некоторый луч целиком содержится в ;  
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

 Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если  
1) некоторый луч целиком содержится в ;  
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

 Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при

 В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая является горизонтальной асимптотой графика при или , если

 или

Соответственно.

 Определение 7.3   Линия называется асимптотической линией графика функции при (или при ), если обе эти функции определены на некотором луче (или луче ) и разность ординат графиков стремится к 0 при (или при , соответственно).     

 Если функция  -- линейная, то есть график  -- наклонная прямая, то асимптотическая линия -- это наклонная асимптота. Однако и другие линии бывает естественно рассматривать в качестве асимптотических.  

 Функции  и входят в определение асимптотической линии симметрично: если график  -- асимптотическая линия для графика , то и  -- асимптотическая линия для . На практике, однако, естественно считать асимптотической линией тот из двух графиков, который задаётся более простой формулой и вид которого известен.   

 Прямая  служит наклонной асимптотой для графика при (или при ) в том и только том случае, когда

 и

 (соответственно, если 

 Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится  ) асимптоты достаточно найти два указанных предела и, затем, . Прямая будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.         

 Доказательство теоремы.     Докажем теорему в случае ; доказательство при проводится совершенно аналогично.

 Перепишем условие (7.1), задающее асимптоту, в виде

 Так как первый множитель  , то второй множитель, стоящий в квадратных скобках, должен быть бесконечно малым, то есть

 Но  и , так что

 откуда следует  равенство (7.2). Теперь число уже известно.

 Подставляя  это число в формулу (7.1), находим, что

откуда следует  равенство (7.3).     

 Если график имеет асимптоту (например, при ) и существует предел производной:

 то  . Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты¹⁷.

 Однако асимптота  может существовать и в случае, когда производная  не имеет никакого предела при . Дело в том, что значения могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером.