Численные методы решения нелинейных уравнений

Федеральное агентство по образованию

Рыбинская государственная авиационная технологическая 

академия имени П.А. Соловьева

Кафедра МПО ЭВС 
 
 
 
 

  Отчет по лабораторной работе №1

«Численные методы решения нелинейных уравнений»

По дисциплине

«Вычислительная математика» 
 
 
 
 
 
 
 
 

Студент группы

Преподаватель 
 

            Барашков В.М. 
 
 

Рыбинск ,  2010

 

1 Задание

Найти все действительные корни уравнения y=x³ +2x-30 следующими методами:

• методом половинного деления;
• методом итерации;
• методом Ньютона.

Погрешность вычислений . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2 Результаты решения в MathCAD

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Рис. 1. Графики функций 

, ,  
 
 
 
 
 
 
 

3 Краткие теоретические сведения

3.1 Метод половинного деления

          Пусть функция непрерывна на интервале , её первая производная существует и сохраняет знак внутри этого интервала и выполняется условие , тогда существует точка такая, что .

Точка может быть найдена с точностью следующим образом:

1. Обозначим , ;

2. Разделим интервал пополам точкой , ;

3. Если , то ;

4. Обозначим через ту половину интервала , для которой , ;

5. Если  , то , иначе - повторить 2-5.

Погрешность метода определяется неравенством:

   

3.2 Метод итераций

         Пусть дано уравнение , где – непрерывная функция. Заменим это уравнение равносильным:

   

причем  выполняется условие .

Выберем приближение значение корня и подставим в правую часть уравнения, получим:

   

Подставив в правую часть вместо число , получим:

   

Повторяя  этот процесс, получим последовательность чисел:

   

Перейдем  к пределу:

   

обозначив , окончательно получим:

   

 – корень  исходного уравнения.

Оценку  приближения на -ом шаге можно производить по одной из следующих формул:

   

или

   

где для выполняется условие: .

3.3 Метод Ньютона

          Пусть дано уравнение , где единственный корень на интервале и производные и непрерывны и сохраняют определенные знаки на этом интервале, причём .

Найдем  какое-либо -ое приближение значение корня из интервала .

Уточним его, положив , где – малая величина. По формуле Тейлора получим:

   

Откуда:

   

Подставив это значение в выражение для  , получим следующее приближение корня:

   

где

Оценку  приближения на -ом шаге производят по следующей формуле:

   

где – набольшее значение на интервале , – наименьшее значение на интервале . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4 Результаты работы программы

4.1 Метод половинного деления

Входные параметры:

;

a = 2,5;

b = 3;

Результаты:

x = 2,8930;

f(x) = -0.0002. 

4.2 Метод итераций

Входные параметры:

;

q = 0.1;

λ = -0.01;

2,5 ≤ a ≤3;

 Результаты:

При a = 2,5: x = 2,8930; f(x) = -0,0000; i = 6;

При a = 2,6: x = 2,8930; f(x) = -0,0000; i = 6;

При a = 2,7: x = 2,8930; f(x) = -0,0001; i = 5;

При a = 2,8: x = 2,8930; f(x) = -0,0000; i = 5;

При a = 2,9: x = 2,8930; f(x) = 0,0000; i = 4;

При a = 3: x = 2,8930; f(x) = 0,0000; i = 5. 

4.3 Метод Ньютона

Входные параметры:

;

m1 = 20,75;

M2 = 18;

2,5 ≤ a ≤3;

Результаты:

При a = 2,5: x = 2,8930; f(x) = -0,0000; i = 4;

При a = 2,6: x = 2,8930; f(x) = 0,0000; i = 3;

При a = 2,7: x = 2,8930; f(x) = 0,0000; i = 3;

При a = 2,8: x = 2,8930; f(x) = 0,0000; i = 3;

При a = 2,9: x = 2,8930; f(x) = 0,0000; i = 2;

При a = 3: x = 2,8930; f(x) = 0,0000; i = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5 Выводы

       Метод половинного деления очень простой, но по сравнению с двумя другими имеет слишком малую скорость сходимости. Лучшие результаты показал метод Ньютона. По сравнению с методом итерации, он дает меньшее число шагов и наиболее точный результат. Можно предположить, что погрешность вычислений в методе итерации связана с неточностью в выборе параметров q и λ.