Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения

Лазарева  Кристина группа 048б

Дифференциальные  уравнения 1-го порядка. Дифференциальные уравнения  с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения

Обыкновенные  дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.

Обыкновенное  дифференциальное уравнение 1-го порядка (n=1) имеет вид: или, если его удается разрешить относительно производной: . Общее решение y=y(x,С) или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Теорема 2.1. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости XOY , и в этой области задана точка , то существует и притом единственное решение , удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию .

Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка  представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: . Другими словами, уравнение задается в плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым. Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению приводится уравнение и так называемое уравнение в симметрической форме .

Дифференциальные  уравнения 1-го порядка  с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида      (3.1)

или уравнение  вида           (3.2)

Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:

   ;

Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение  y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :

, что позволяет получить общий  интеграл уравнения (3.2):     .                (3.3)

Интегральные  кривые (3.3) будут дополнены решениями  , если такие решения существуют.

Пример.

Решить уравнение: .

Решение.

Разделяем переменные:

            .

Интегрируя, получаем         

Далее из уравнений  и находим   x=1, y=-1. Эти решения – частные решения.

Краткая памятка: 

. Однородные дифференциальные  уравнения 1-го  порядка.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция - однородная нулевого измерения.

Решение. 

      ,

что и требовалось  доказать.

Теорема. Любая функция - однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .

Доказательство.

Первое утверждение  теоремы очевидно, т.к. . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции , что и требовалось доказать.

Определение 2.    Уравнение             (4.1)

в котором  M и  N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным.

Очевидно, что  это уравнение всегда может быть приведено к виду    (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное  уравнение приводится к уравнению  с разделяющимися переменными с  помощью замены искомой функции  y по формуле y=zx, где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: или или  .

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения  относительно функции z(x)         , который после повторной замены дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения , то функции - решения однородного заданного уравнения. Если же , то уравнение (4.2) принимает вид

 и становится уравнением  с разделяющимися переменными.  Его решениями являются полупрямые: .

Замечание.  Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.

§ 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

Рассмотрим  уравнение вида   .          (5.1)

Если  , то это уравнение с помощью подстановки , где и - новые переменные, а и - некоторые постоянные числа, определяемые из системы  

Приводится  к однородному уравнению  

Если  , то уравнение (5.1) принимает вид

.

Полагая  z=ax+by, приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.

Рассмотрим  примеры.

Пример 1.

Проинтегрировать  уравнение 

и выделить интегральную кривую, проходящую через  точки: а) (2;2); б) (1;-1).

Решение.

Положим  y=zx. Тогда dy=xdz+zdx и

.

Сократим  на и соберем члены при dx  и  dz:

.

Разделим  переменные:    .

Интегрируя, получим    ;

или  ,     .

Заменив здесь  z на  , получим общий интеграл заданного уравнения в виде (5.2)     или      .

Это семейство  окружностей  , центры которых лежат на прямой  y = x  и которые в начале координат касаются прямой  y + x = 0. Эта прямая  y = -x в свою очередь частное решение уравнения.

Теперь режим  задачи Коши:

А) полагая  в общем интеграле  x=2, y=2, находим  С=2, поэтому искомым решением будет  .

Б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку (1;-1). Зато полупрямая  y = -x,  проходит через точку и дает искомое решение.

Пример 2.  Решить уравнение:  .

Решение.

Уравнение является частным случаем уравнения (5.1).

Определитель  в данном примере , поэтому надо решить следующую систему

Решая, получим, что  . Выполняя в заданном уравнении подстановку , получаем однородное уравнение . Интегрируя его при помощи подстановки , находим .

Возвращаясь к старым переменным  x и  y по формулам , имеем .

§ 6. Обобщенное однородное уравнение.

Уравнение  M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx и  dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k-го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и  (k-1)-го измерений. Например, таким будет уравнение .             (6.1)

Действительно при сделанном предположении  относительно измерений

x, y, dx и  dy члены левой части  и dy будут иметь соответственно измерения  -2, 2k и k-1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k:  -2 = 2k = k-1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k  все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Обобщенное  однородное уравнение приводится к  уравнению с разделяющимися переменными  с помощью подстановки  , где z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k = -1, то , после чего получаем уравнение   .

Интегрируя  его, находим  , откуда . Это общее решение уравнения (6.1).

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным  уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой  функции и ее производной. Оно имеет вид:

,              (7.1)

где  P(x) и Q(x) – заданные непрерывные функции от  x. Если функция   , то уравнение (7.1) имеет вид:             (7.2)

и называется линейным однородным уравнением, в  противном случае оно называется линейным неоднородным уравнением.

Линейное  однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:

                  (7.3)

Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение  уравнения (7.1), в котором функция  P(x) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(x) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:

.

Подставляя  найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:

или  .

Откуда  , где - произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет              (7.4)

Первое слагаемое  в этой формуле представляет общее  решение (7.3) линейного однородного  дифференциального уравнения (7.2), а  второе слагаемое формулы (7.4) есть частное  решение линейного неоднородного  уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при . Этот важный вывод выделим в виде теоремы.

Теорема.  Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения , то все остальные решения имеют вид , где - общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Однако надо отметить, что для решения линейного  неоднородного дифференциального  уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется  другой метод, иногда называемый методом  Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде . Тогда . Подставим найденную производную в исходное уравнение:  .