Функциональная и корреляционная взаимосвязи

Тема: Функциональная и корреляционная взаимосвязи  

Цель:  с помощью  корреляционного поля и коэффициентов  корреляции (рангового и нормированного) научиться выявлять корреляционную связь между признаками, уметь  оценивать ее достоверность и  использовать эту связь в практических рекомендациях. 

Теоретические сведения  

1. Функциональная  и корреляционная зависимости 

 В природе многие  явления и процессы взаимосвязаны  между собой. В физической культуре  и спорте, в спортивной команде  и в организме спортсмена тоже  существует много взаимосвязей  между различными признаками. Например, с повышением количества занимающихся  в каком-либо виде спорта повышаются  результаты в этом виде; осложнения  во взаимоотношениях между игроками  одной команды ухудшает ее  результативность; с повышением  интенсивности нагрузки у спортсмена  повышается пульс, увеличивается  скорость кровотока в работающих  мышцах, уменьшаются в них энергетические  ресурсы; регулярность тренировок, оптимально подобранные нагрузки  по их виду, объему и интенсивности  улучшают результаты спортсмена  и т.д.  

Влияние одних признаков  на другие может быть положительным  и отрицательным. Грамотный специалист должен хорошо разбираться в таких  взаимосвязях в своей области, устранять  или уменьшать негативное влияние  и уметь своевременно и в достаточной  мере использовать полезные взаимосвязи.  

Некоторые методы математической статистики могут помочь любому специалисту  выявить взаимосвязи, раскрыть их особенности. Одним из таких методов и является метод корреляционного анализа. Он направлен на то, чтобы на основе статистического материала выявить  факт влияния одного признака на другой, установить полезность или вред этого  влияния и оценить уверенность  в полученных выводах. При этом различают  два вида зависимости — функциональную и статистическую (корреляционную).  

Понятие функциональной зависимости  

 Будем говорить, что между двумя признаками X и  Y существует функциональная зависимость  (взаимосвязь), при которой каждому  значению одного из них соответствует  одно или несколько строго  определенных значений другого.  

Например, в функции  у = 2 * х каждому значению х соответствует  в два раза большее значение у . В функции  каждому значению у соответствует 2 определенных значения х . Графически это выглядит так (рис. 6, 7 соответственно): 
 
 

Понятие корреляционной зависимости и ее направленности  

Будем говорить, что  между двумя признаками Х и  У существует корреляционная зависимость (взаимосвязь), при которой с изменением одного признака изменяется и другой, но каждому значению признака Х могут  соответствовать разные, заранее  непредсказуемые значения признака У, и наоборот.  

Для различия направленности влияния одного признака на другой введены понятия положительной  и отрицательной связи.  

Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном увеличиваются (уменьшаются) значения другого, то такая корреляционная связь  называется прямой или положительной.  

Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном уменьшаются (увеличиваются) значения другого, то такая корреляционная связь  называется обратной или отрицательной.  

2. Корреляционные  поля и их использование в  предварительном анализе корреляционной  связи  

При постановке вопроса  о корреляционной зависимости между  двумя статистическими признаками Х и У проводят эксперимент  с параллельной регистрацией их значений.  
 

3. Коэффициенты корреляции  и их свойства 

 Часто для определения  достоверности взаимосвязи между  двумя признаками (Х, У) используют  непараметрический (ранговый) коэффициент  корреляции Спирмена  и параметрический  коэффициент корреляции Пирсона  . Величина этих показателей корреляционной  связи определяется по следующим  формулам: 

(1) 

 где: dx — ранги  статистических данных признака  х;  

dy — ранги статистических  данных признака у. 

(2) 

 где:  — статистические  данные признака х,  

— статистические данные признака у.  

Эти коэффициенты обладают такими мощными признаками:

1. На основании  коэффициентов корреляции можно  судить только о прямолинейной  корреляционной взаимосвязи между  признаками. О криволинейной связи  с их помощью ничего сказать  нельзя.

2. Значения коэффициентов  корреляции есть безразмерная  величина, которая не может быть  меньше -1 и больше +1, т.е.

3.

4. Если значения  коэффициентов корреляции равны  нулю, т.е. = 0 или  = 0, то связь между  признаками х, у отсутствует.

5. Если значения  коэффициентов корреляции отрицательные,  т.е.  < 0 или  < 0, то связь между  признаками Х и Y обратная.

6. Если значения  коэффициентов корреляции положительные,  т.е.  > 0 илиy> 0 , то связь между  признаками Х и Y прямая (положительная).

7. Если коэффициенты  корреляции принимают значения +1 или -1, т.е. = ± 1 или = ± 1, то  связь между признаками Х и  Y линейная (функциональная).

8. Только по величине  коэффициентов корреляции нельзя  судить о достоверности корреляционной  связи между признаками. Эта достоверность  еще зависит от числа степеней  свободы.

k = n - 2, (3) 

 где: n — число  коррелируемых пар статистических  данных признаков Х и Y.  

Чем больше n , тем  выше достоверность связи при  одном и том же коэффициенте корреляции.  

Кроме перечисленных  общих свойств у рассматриваемых  коэффициентов корреляции имеются  и различия. Главное их отличие  состоит в том, что коэффициент  Пирсона ( может быть использован  только в случае нормальности распределения  признаков Х и Y , коэффициент Спирмена () может быть использован для  признаков с любым видом распределения. Если рассматриваемые признаки имеют  нормальное распределение, то целесообразнее определять наличие корреляционной связи с помощью коэффициента Пирсона (), т.к. в этом случае он будет  иметь меньшую погрешность, чем  коэффициент Спирмена () 
 

    Термин "корреляция" означает "связь". В эконометрике  этот термин обычно используется  в сочетании "коэффициенты  корреляции". Рассмотрим линейный  и непараметрические парные коэффициенты  корреляции. 

          Обсудим способы измерения связи  между двумя случайными переменными.  Пусть исходными данными является  набор случайных векторов  Выборочным  коэффициентом корреляции, более  подробно, выборочным линейным парным  коэффициентом корреляции К. Пирсона,  как известно, называется число 

  

Если rn = 1, то  причем a>0. Если же rn = - 1, то  причем a<0. Таким  образом, близость коэффициента корреляции к 1 (по абсолютной величине) говорит  о достаточно тесной линейной связи.  

          Если случайные вектора  независимы  и одинаково распределены, то  выборочный коэффициент корреляции  сходится к теоретическому при  безграничном возрастании объема  выборки: 

  

(сходимость по  вероятности). 

          Более того, выборочный коэффициент  корреляции является асимптотически  нормальным. Это означает, что 

  

где - функция стандартного нормального распределения с  математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, а - асимптотическая дисперсия  выборочного коэффициента корреляции. Она имеет довольно сложное выражение, приведенное в монографии [1, с.393]: 

  

Здесь под  понимаются теоретические центральные моменты  порядка k и m, а именно, 

. 

          Коэффициенты корреляции типа rn используются во многих алгоритмах  многомерного статистического анализа.  В теоретических рассмотрениях  часто считают, что случайные  вектора  имеют двумерное нормальное  распределение. Распределения реальных  данных, как правило, отличны от  нормальных (см. главу 2.1). Почему  же распространено представление  о двумерном нормальном распределении?  Дело в том, что теория в  этом случае проще. В частности,  равенство 0 теоретического коэффициента  корреляции эквивалентно независимости  случайных величин. Поэтому проверка  независимости сводится к проверке  статистической гипотезы о равенстве  0 теоретического коэффициента корреляции. Эта гипотеза принимается, если , где- некоторое граничное значение, зависящее от объема выборки  n и уровня значимости . 

          Если предположение о двумерной  нормальности не выполнено, то  из равенства 0 теоретического  коэффициента корреляции не вытекает  независимость случайных величин.  Нетрудно построить пример случайного  вектора, для которого коэффициент  корреляции равен 0, но координаты  зависимы. Кроме того, для проверки  гипотез о коэффициенте корреляции  нельзя пользоваться таблицами,  рассчитанными в предположении  нормальности. Можно построить правила  принятия решений на основе  асимптотической нормальности выборочного  коэффициента корреляции. Но есть  и другой путь – перейти  к непараметрическим коэффициентам  корреляции, одинаково пригодным  при любом непрерывном распределении  случайного вектора. 

          Для расчета непараметрического  коэффициента ранговой корреляции  Спирмена необходимо сделать  следующее. Для каждого xi рассчитать  его ранг ri в вариационном ряду, построенном по выборке Для  каждого yi рассчитать его ранг qi в вариационном ряду, построенном  по выборке  Для набора из n пар вычислить линейный коэффициент корреляции. Он называется коэффициентом ранговой корреляции, поскольку определяется через ранги. В качестве примера рассмотрим данные из табл.1 (см. монографию [2]). 
 
 

       Для данных табл.1 коэффициент  линейной корреляции равен 0,83, непосредственной линейной связи  нет. А вот коэффициент ранговой  корреляции равен 1, поскольку  увеличение одной переменной  однозначно соответствует увеличению  другой переменной. Во многих  экономических задачах, например, при выборе инвестиционных проектов, достаточно именно монотонной  зависимости одной переменной  от другой. 

          Поскольку суммы рангов и их  квадратов нетрудно подсчитать, то коэффициент ранговой корреляции  Спирмена равен 

  

Отметим, что коэффициент  ранговой корреляции Спирмена остается постоянным при любом строго возрастающем преобразовании шкалы измерения  результатов наблюдений. Другими  словами, он является адекватным в порядковой шкале (см. главу 2.1), как и другие ранговые статистики, например, статистики Вилкоксона, Смирнова, типа омега-квадрат  для проверки однородности независимых  выборок (глава 3.1).  

          Широко используется также коэффициент  ранговой корреляции Кендалла, коэффициент  ранговой конкордации Кендалла  и Б. Смита и др. Наиболее  подробное обсуждение этой тематики  содержится в монографии [3], необходимые  для практических расчетов таблицы  имеются в справочнике [4]. Дискуссия  о выборе вида коэффициентов  корреляции продолжается до настоящего  времени [2].