Гиперболический параболоид

     Устраняя  цилиндрические поверхности, мы будем  предполагать

     Конечно, и у цилиндрической поверхности  для отдельных образующих  может обращаться в нуль, но мы таких образующих рассматривать не будем.

     При коэффициенты уравнения (2) стремятся к пределам, которые нетрудно найти. Нужно только иметь в виду, что

(так как   в силу леммы 1).

      В пределе уравнения (2) с неизвестными , примут вид

      Детерминант этой системы 

Значит, и у системы (2) при достаточно малом  детерминант тоже не равен нули, и система (2) имеет единственное решение , (т.е. существует вполне определенный перпендикуляр ).

      Решение  , системы (2) стремится в пределе к решению системы (2’), так как , вполне определенным образом выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы (2) стремятся к коэффициентам системы (2’) (причем детерминант системы стремится к пределу, не равному нулю). Итак,

где  ,  - решение системы (2’), т.е.

      Так как  - координата точки на образующей , то означает, что стремится по этой образующей к предельному положению с координатой .

      Таким образом, основание общего перпендикуляра при стремится по образующей и к предельному положению ; точка называется горловой точкой образующей .

      Горловая  точка на каждой образующей отмечает «самое узкое место» линейчатой поверхности  в окрестности этой образующей.

      Нетрудно  написать явно радиус-вектор горловой точки,   пользуясь (2’’)

      Что же касается предельного положения самого перпендикуляра , то оно пройдет через параллельно вектору . Действительно, перпендикулярен к направляющим векторам , образующих , . А значит,

Поделив правую часть на , получим

      Это векторное произведение при  стремится к пределу . Следовательно, а то время, когда основание перпендикуляра стремится в точку , его направление стремится к направлению вектора . 
 
 
 
 
 
 

Горловая  линия

     Итак, на каждой образующей линейчатой поверхности  имеется [в предположении ] ровно одна горловая точка. Геометрическое место горловых точек называется горловой линией (а также линией сжатия или стрикционной линией). Если в уравнении (3) считать переменным, то оно покажет изменение радиус-вектора горловой точки в зависимости от параметра , т.е. от выбора образующей. Мы получаем, следовательно, параметрическое уравнение горловой линии.

      Геометрический  смысл горловой линии состоит  в том, что она «опоясывает» линейчатую поверхность по самому узкому ее месту. Так, например, для однополосного гиперболоида вращения

Который является дважды  линейчатой поверхностью (две системы прямолинейных образующих), горловой линией в обоих случаях будет окружность его пересечения с плоскостью

На этом примере видно, что горловая линия  пересекает образующие, вообще говоря, не под прямым углом, вопреки тому, что можно подумать с первого взгляда.

      Заметим, между прочем, что для гиперболического параболоида общего вида

горловая  линия не будет линией пересечения  с плоскостью (она будет пространственной кривой 4-го порядка, особой для каждой системы прямолинейных образующих).

      Чтобы горловую линию было удобнее описывать, примем ее за направляющую кривую . Тогда в формуле (3) радиус-вектор горловой линии совпадает с радиусом-вектором направляющей кривой, так что вычитаемое должно обратится в нуль. А это значит

      Очевидно, это условие и достаточно для  того, чтобы направляющая совпадала  с горловой линией . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы:

1. П.К. Рашевский «Курс дифференциальной геометрии»

Государственное издательство технико-теоритической литературы; Москва 1956г.