Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп

 

Содержание.

Введение………………………………………………………………………………3

Глава I. ….………………………………………………………………………..….5

Глава II. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. ………..…7

Глава III.

§1. Подгруппы. Примеры. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп ………18

§2. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп………………………………….21

Вывод……...……………………………………………………..................................25

Литература…………………………………………………..………………………26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 
            Актуальность исследования обусловлена тем, что изучение студентами групп малых порядков и абелевых групп важно для дальнейшего изучения математики. Понятие группы приобретает в настоящее время все большее господство над самыми различными разделами математики и ее разделами и относится к самым фундаментальным понятиям всей математики.  
            Понятие группы можно освоить на самых первых ступенях математического образования. Вместе с тем знакомство с этим понятием становится одним из самых естественных способов первого ознакомления с современной математикой вообще.

Цель работы. Целью нашей  работы является изучение групп малых порядков и абелевых групп. Цель исследования заключается в подготовке теоретического материала для более глубокого самостоятельного изучения студентами, а также применение теоретических основ для решения задач.

В соответствии с поставленной целью, нами выдвинуты следующие  задачи :

1. Найти и изучить тему в научно-методической литературе.
2. Описать историю возникновения теории групп.
3. Описать абелевы группы.
4. Охарактеризовать группы гомоморфизмов и изоморфизмов

Предметом исследования являются группы малых порядков,  абелевы группы и их свойства.  
            Объектом исследования является гомоморфизмы и изоморфизмы групп и алгоритм построения групп малых порядков.

 

 

Во  время  работы  были использованы  следующие  методы:

-  метод  описания

- сравнительный метод

-  метод анализа и синтеза

-  метод дедукции и индукции

 
Структура работы. Представляемая  работа состоит из введения, трёх глав, заключения и библиографии. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, раскрываются цель, задачи, указываются предмет, объект и методы исследования.

Полный  объем квалификационной работы  составляет __ страницы.

Библиография  содержит 17 наименований.

Содержание работы. 
Разбиение на главы осуществлено так, что в первой главе освещаются исторические корни нашей работы.

Вторая глава вводит само понятие группы, даёт примеры групп и рассматривает их простейшие свойства. В данной главе рассматриваются примеры построения групп малых порядков. Вводятся определения изоморфизма и гомоморфизма.

Третья глава раскрывает понятия подгрупп, приводит примеры, рассматривает детально гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

В заключении мы освещаем результаты исследования и делаем общие выводы.

 

 

Глава I.

У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры — теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.

Одной из первых задач, приведших к  возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m < n). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659 г.). В 1740 г. Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Вейринг (с 1762 по 1782 гг.) развили эту идею.

Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770—1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент, с которыми он сталкивался, являются рациональными функциями от корней соответствующих уравнений. Чтобы изучить свойства этих функций, он разработал «исчисление сочетаний» (Calculdes Combinaisons). Современная ему работа Вандермонда (1770 г.) также предвосхищала развитие теории групп.

Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Руффини также опубликовал письмо, написанное ему Аббати, лейтмотивом которого была теория групп.

Галуа обнаружил, что если у алгебраического  уравнения несколько корней, то всегда существует группа перестановок этих корней такая, что:

1) всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, рациональна и, наоборот;

2) всякая рациональная функция  от корней инвариантна относительно  перестановок группы.

Свои первые труды по теории групп  он опубликовал в 1829 г., в возрасте 18 лет, но они остались практически незамеченными, пока в 1846 г. не было издано собрание его сочинений.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории. Изучаемый ими предмет был популяризован Серретом, который посвятил теории секцию из своей книги по алгебре, Жорданом, чей труд «Действия над подстановками» (Traitédes Substitutions) стал классикой, и Евгением Нетто (1882 г.), чей труд был в 1892 г. переведён на английский язык Коулом. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Современное определение понятия  «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком.

В 1884 г. Софус Ли положил начало изучению как групп преобразований того, что мы сейчас называем группами Ли и их дискретными подгруппами; за его трудами последовали работы Киллинга, Штуди, Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов.

В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп, включающая десятки тысяч страниц статей.

Ощутимый вклад в теорию групп  внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.

Глава II.

Группа. Примеры  групп. Простейшие свойства групп.

Пусть G — произвольное множество и предположим, что на нем задана некоторая бинарная (двухместная, от двух аргументов) операция «·», обычно называемая умножением, которая для любых двух элементов a, b из данного множества сопоставляет им единственным образом элемент, обозначаемый a · b или просто ab.

При этом элемент ab называется произведением элементов a и b. Если при этом выполнены дополнительно следующие три условия (называемые аксиомами группы):

Определение 2.1

Непустое множество G, на котором определена бинарная операция (·), называется группой, если выполняются следующие аксиомы:

1) операция (·) ассоциативна, т. е. ;

2) в множестве G существует нейтральный элемент, т. е.

(е- правая единица)

3) для каждого элемента в множестве G существует симметричный элемент a^-1, т. е. (a^-1-правый обратный элемент).

Определение 2.2

Если определенная на группе G бинарная операция  коммутативна, то группа G называется коммутативной или абелевой.(а*в = в*а)

 

Определение 2.3

Если операцию(·)  умножением, то группу G(∙) называют  мультипликативной (группой по умножению).

Если операцию (·)называют  сложением, то группуG(+)  называют аддитивной (группой по сложению).

 

Определение 2.4

Группа, элементами которой  являются числа, называют числовой группой.

Примеры различных групп, а также  естественные ситуации, в которых  появляются группы мы приведем чуть ниже. Очевидными примерами являются множество  целых чисел по сложению, множество  ненулевых рациональных чисел по умножению и т. д. Отметим несколько простых следствий из аксиом группы: единичный элемент и обратный элемент определяются единственным образом. Действительно, предположим, что существует два единичных элемента e₁, e₂, тогда применение аксиомы (аксиома 2) дает нам следующую цепочку равенств e₁ = e₁e₂ = e₂. Аналогично, если для некоторого элемента a существует два обратных b₁, b₂, то, используя аксиомы (аксиома 1)–(аксиома 3), мы получаем следующую цепочку равенств b₁ = b₁e = b₁(ab₂) = (b₁a)b₂ = eb₂ = b₂.

Примеры:

Z(+) – абелева группа  целых чисел.

Q(+) – абелева группа  рациональных чисел.

R(+) – абелева группа действительных чисел.

 – множество четных чисел, Z₂ (+) – абелева группа.

Q₊– множество положительных рациональных чисел, Q₊(∙) – абелева группа положительных  рациональных чисел.

Q*– множество отличных  от нуля рациональных чисел, Q* (∙) – абелева группа отличных от нуля рациональных чисел.

R₊(∙) , R*(∙) – абелевые группы.

M = {1,-1},M(∙)– абелева группа.

B = {0},B(+)– абелева группа.

R,× - не группа, т.к. для 0 нет симметричного по операции умножения элемента.

R\{0}, Q\{0}, C{0} – коммутативные группы.

G={A= |a_ij R, |A|≠0} – некоммутативная группа.

Если M — произвольное подмножество группы G, то мы можем рассмотреть операцию умножения на множестве M, которая является отображением · : M × M → G. Операцию · на множестве M мы будем называть индуцированной операцией. Подмножество H группы G называется подгруппой, если оно само является группой относительно индуцированной операции. Легко проверить, что подмножество является подгруппой, если оно замкнуто относительно произведения (т. е. для любых двух h₁, h₂   H элемент h₁ · h₂ вновь лежит в H) и замкнуто относительно взятия обратного (т. е. для любого h   H элемент   h^–1 вновь лежит в H).

Определение 2.5

Если G, H — группы, то отображение φ : G → H, сохраняющее операцию (т. е. для всех g₁, g₂   G выполнено (g₁ · g₂)φ = g₁φ · g₂φ), называется гомоморфизмом.

Определение 2.6

Множество Ker(φ) = {g   G | gφ = e} называется  ядром гомоморфизма, а множество Gφ = {gφ | g   G} называется образом гомоморфизма.

 

Определение 2.7

Если Ker(φ) = {e}, а  Gφ = H, т. е. если φ является биекцией, то отображение φ называется изоморфизмом, а группы G и H изоморфными (обозначается G  H).

Теорема о гомоморфизмах  утверждает, что H = Ker(φ) — нормальная подгруппа группы G и Gφ   G / H. Изоморфизм можно мыслить для себя, как такую «похожесть» двух групп, что мы их не различаем (хотя реально они могут быть разными множествами). Таким образом, теория, строго говоря, изучает классы изоморфизма групп. Заметим, что и в обыденной жизни мы тоже нередко устанавливаем изоморфизмы более или менее высокого уровня абстракции. Так, например, есть класс изоморфизма мебели, называемый понятием «шкаф» и мы по некоторым признакам безошибочно определяем, относится ли данный объект к «шкафам» или нет. Когда нам не хватает столь высокого уровня абстракции, мы спускаемся к более низкому уровню и начинаем делить шкафы на «кухонные», «книжные», «платяные» и т. д. Понятие изоморфизма для групп — это как раз тот инструмент, с помощью которого мы на нашем уровне абстракции различаем или отождествляем объекты.

Примерами групп, известных  нам с начальной школы, являются целые, рациональные, действительные, комплексные числа по сложению, ненулевые  рациональные, действительные, комплексные  числа по умножению. Все эти группы являются абелевыми. Другой важный пример групп дает нам следующая конструкция. Пусть X — произвольное множество и Sym_X — множество всевозможных биекцией множества X на себя. Зададим умножение на Sym_X как композицию. Тогда Sym_X относительно операции композиции является группой и называется симметрической группой на множестве X или группой подстановок (иногда используется также термин группа перестановок, но нам он кажется неудачным, об этом чуть ниже). Если множество X конечно и |X| = n, то можно считать, что X = {1, ..., n} и Sym_X обозначается за Sym_n. Если Ψ — некоторое свойство отображений, которое сохраняется при композиции, то подмножество отображений, удовлетворяющих свойству Ψ, группы Sym_X образует подгруппу группы Sym_X. Покажем, что композиция отображений удовлетворяет аксиоме ассоциативности (ГР1) (проверка остальных аксиом существенно проще, они вытекают из определения биекции). Для того, чтобы доказать, что композиция отображений ассоциативна, необходимо сначала понять, когда же отображения равны.

Несмотря на очевидность  определения, оно нередко вызывает сложности.                                                           Отображения φ : A → B и ψ : A → B (где A, B — произвольные множества) равны, если для любого x   A его образы xφ и xψ равны. Пусть теперь φ, ψ, χ   Sym_X и x   X. Тогда x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = ((xφ)ψ)χ, с другой стороны, x(φ(ψχ)) = (xφ)(ψχ) = ((xφ)ψ)χ, что доказывает ассоциативность композиции.

Этот пример не только позволяет  строить большое количество различных  групп (чуть ниже мы убедимся, что все  группы), но и показывает широкую  область применения теории групп. Везде, где есть хоть какая-то симметрия (т. е. биекция), немедленно возникают и группы. Задачи о построении с помощью циркуля и линейки, о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, дифференциальных уравнений в первообразных и т. д. естественным образом сводятся к задачам в теории групп. Различные комбинаторные задачи сводятся к подсчету объектов, удовлетворяющих некоторым свойствам и вновь к теории групп.

Если G — группа, X — множество и задан гомоморфизм φ : G → Sym_X, то говорят, что группа G действует на множестве X. Если Ker(φ) = {e}, то действие называется точным. Для «облегчения» обозначений мы будем отождествлять g с его образом gφ и для произвольного x  X его образ относительно gφ будем записывать xg. Введем отношение эквивалентности ~ на X по правилу: элементы x, y   X являются эквивалентными, если существует такой g   G, что xg = y. Классы эквивалентности называются орбитами группы G. Говорят, что группа G действует транзитивно (а представление является транзитивным), если существует лишь одна орбита. Гомоморфизм φ : G → Sym_X называется подстановочным представлением группы G (именно из-за термина «подстановочное представление» термин «группа перестановок» считается неудачным, так как термин «перестановочное представление» имеет другое значение). Если Ker(φ) = {e}, то представление называется точным.