Интеграл, двойной интеграл, тройной интеграл, центр тяжести, масса тела, граф, уровни, отношения, матрица

Министерство  образования Российской федерации

Институт  Энергетики и Транспорта

Самарский Государственный Аэрокосмический Университет

им. академика  С. П. Королёва 
 
 
 

Кафедра общеинженерной подготовки 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

по  высшей математике 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Работу  выполнил:

 студент  гр. 10201

Киселёв И.В. 

Работу  проверил:

 доцент  Осипов А. И. 
 

     Самара,  2007 

Реферат 

Курсовая  работа: …стр., …рис., …табл., …ист. 
 
 
 

интеграл, двойной интеграл, тройной интеграл, цЕНТР ТЯЖЕСТИ, мАССА ТЕЛА, граф, УРОВНИ, ОТНОШЕНИЯ, МАТРИЦА. 
 
 
 
 
 

Выполнено: решение дифференциальных уравнений Ι порядка, решение дифференциальных уравнений IΙ порядка, вычисление кратных интегралов, определение элементов теории графов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СОДЕРЖАНИЕ 

Задание на работу 
 
 
 
 
 
 

Кафедра общеинженерной подготовки 

ЗАДАНИЕ НА РАБОТУ

Студенту гр. 10201

ВАРИАНТ № 10 

1. Содержание  задания.

1.1. Применить  методы высшей математики к  решению указанных задач. 

2. Исходные данные

2.1 Задание  кафедры 

3. Перечень и объём графических и текстовых документов.

3.1 Текст работы: ……. Листов А4 

4. Календарный  план выполнения работы. 

 

Основные  обозначения 
 

С – произвольная постоянная; 

x₀, y₀ – заданные числа; 

V – Объём тела; 

М – масса тела; 

σ – площадь поверхности 

XЦ. , YЦ.-координаты центра тяжести. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

      В настоящее время актуальным является применение математики для решения целого ряда проблем в различных реальных процессах, происходящих в природе или на разных предприятиях. В данной работе, состоящей из трех частей, проведены расчеты для решения поставленных задач.

      В первой части решены задачи с помощью  дифференциальных уравнений Ι порядка. Вторая часть посвящена дифференциальным уравнениям ΙΙ порядка. В третьей части были рассмотрены кратные интегралы. В четвертой

части содержатся краткие сведения теории графов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Решение дифференциальных уравнений 

        Пусть функция y=f(x) отражает количественную сторону некоторого явления. Часто, рассматривая это явление, мы не можем непосредственно установить характер зависимости y от x, а можем установить зависимость между величинами x и y и производными от y по x: y’, y”,…,. , т.е. написать дифференциальное уравнение.

          Из полученной зависимости между  переменной x, y и производными требуется установить непосредственную зависимость y от x, т.е. найти y=f(x) или, как говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение. 

          Определение 1. Дифференциальным  уравнением называется уравнение,  связывающее независимую переменную  x, искомую функцию y=f(x) и ее производные  y’, y”,…,. .

          Символически дифференциальное  уравнение можно записать 

так: 

                                          F (x, y, y’, y”,…,

)=0                                      (1)

или 

                            

                              (2) 

         Если искомая функция y=f(x) есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.  

         Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

         Так, например, уравнение

Есть  уравнение первого порядка. 

         Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество. 
 
 
 
 
 
 

1.1. Решение дифференциальных уравнений І порядка 
 

      К дифференциальным уравнениям І порядка  относятся уравнения общего вида 

                        F(x, y, y΄) =0        (3)

а также уравнения, разрешенные относительно y΄  

                        y΄ = f(x, y)        (4)

и в форме 

                        P(x, y) dx + Q (x, y) dy =0     (5) 

      Для нахождения решения дифференциальное уравнение интегрируют и получают функцию y=φ(x, C) или уравнение Ф (x, y, C) = 0, где С - произвольная постоянная. Функция называется общим решением уравнения, приведенное уравнение – его общим интегралом.

        Для нахождения частного решения  y = φ (x, C₀)  или частного интеграла Ф (x, y, C₀) = 0  уравнений (3) ÷ (5) задаются начальным условием y(x₀) = y₀, где x₀, y₀ – заданные числа. Эта задача называется задачей Коши.

      В курсе рассматриваются дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах.    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1.1.1. Аналитическое решение 

Условие задачи:

      Дифференциальное  уравнение движения самолёта при  пассивном методе полёта на радиостанцию в определённых метеорологических условиях имеет вид , где х, у-координаты местоположения самолета относительно радиостанции. Найти общее решение уравнения.

Указание  к решению: В случае записи исходного уравнения в виде P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 разумно в подстановке y/x=u, y=ux, y´= u´x+u принять dy=xdu+udx

Рис.1 

Решение:

 

Разделим переменные

 
 
 
 
 

Проинтегрируем

Ответ:  
 

1.1.2. Приближённое решение методом Пикара 
 

      Это приближённый метод решения, является обобщением метода последовательных приближений. Для решения задачи Коши применительно к уравнению первого порядка имеем:                                  (6)  

                                           (7) 

Применяя метод  последовательных приближений получим итерационный процесс:                                                                      (8)

На каждой стадии процесса интегрирование выполняется  либо точно, либо численными методами (по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона). 
 

Применительно к данной задаче находим:

  

Смотреть Графики  решений (метод Пикара)

1.1.3. Таблица приближенных значений 

     Таблица№1