Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Данный   интеграл   имеет   две особенности x®0  и   x®¥  .

Обратите  внимание  на   различные приёмы  при  исследовании  функций   при     стремлении  переменной  x  к нулю  и  к  бесконечности.

Значит, сходится исходный интеграл, как сумма  двух сходящихся. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Экономическая часть

Начнем с широко используемого в рыночной экономике  понятия потребительского излишка¹ (CS–consumer’s surplus). Для этого введем несколько экономических понятий и обозначений.

Спрос на данный товар (D–demand) – сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой P (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

Аналогично определяется и другое ключевое понятие экономической теории – предложение (S–supply) товара: сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара P и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене.

Отметим, что  экономисты сочли удобным изображать аргумент (цену) по оси ординат, а зависимую переменную (количество товара) по оси абсцисс. Поэтому графики функций спроса и предложения выглядят следующим образом (рис. 1).

И, наконец, введем еще одно понятие, играющее большую  роль в моделировании экономических  процессов – рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения (рис. 2), E*(p*; q*) – точка равновесия².

В дальнейшем для  удобства анализа мы будем рассматривать  не зависимость Q = f(P), а обратные функции  спроса и предложения, характеризующие  зависимость P = f(Q), тогда аргумент и  значение функции графически будут  изображаться привычным для нас образом.

Перейдем теперь к рассмотрению приложений интегрального  анализа для определения потребительского излишка. Для этого изобразим  на графике обратную функцию спроса P = f(Q). Допустим, что рыночное равновесие установилось в точке E*(q*; p*) (кривая предложения на графике отсутствует для удобства дальнейшего анализа, рис. 3).

Если покупатель приобретает товар в количестве Q* по равновесной цене P*, то очевидно, что общие расходы на покупку  такого товара составят P*Q*, что равно  площади заштрихованной фигуры A (рис. 4).

Но предположим  теперь, что товар в количестве Q* продается продавцами не сразу, а  поступает на рынок небольшими партиями њ Q. Именно такое допущение вместе с предположением о непрерывности функции спроса и предложения является основным при выводе формулы для расчета потребительского излишка (см. [2–4]). Отметим, что данное допущение вполне оправдано, потому что такая схема реализации товара довольно распространена на практике и вытекает из цели продавца поддерживать цену на товар как можно выше.

Тогда получим, что сначала предлагается товар  в количестве Q₁ = D Q (рис. 5), который продается по цене P₁ = f(Q1). Так как по предположению величина њ Q мала, то можно считать, что вся первая партия товара реализуется по цене P₁, при этом затраты покупателя на покупку такого количества товара составят P₁D Q, что соответствует площади заштрихованного прямоугольника S₁ (рис. 5).

Далее на рынок поступает вторая партия товара в том же количестве, которая продается по цене P₂ = f(Q₂), где Q₂ = Q₁ + D Q – общее количество реализованной продукции, а затраты покупателя на покупку второй партии составят P₂D Q, что соответствует площади прямоугольника S₂.

Продолжим процесс  до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара Q* = Qn. Тогда становится ясно, какой должна быть величина D Q для того, чтобы процесс продажи товара закончился в точке Q*:

В результате получим, что цена n-й партии товара Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*, а затраты потребителей на покупку этой последней партии товара составят PnD Q, или площадь прямоугольника Sn.

Таким образом, мы получим, что суммарные затраты  потребителей при покупке товара мелкими партиями D Q равны

Так как величина D Q очень мала, а функция f(Q) непрерывна, то заключаем, что приблизительно равна площади фигуры B (рис. 6), которая, как известно, при малых приращениях аргумента D Q равна определенному интегралу от обратной функции спроса при изменении аргумента от 0 до Q*, т. е. в итоге получим, что

Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса Pi = f(Qi) (i = 1, 2, ..., k) показывает, какую сумму потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры B соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку Q* единиц товара. Разность между площадью фигуры B и площадью прямоугольника A есть потребительский излишек при покупке данного товара – превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение (площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7).

Таким образом, потребительский излишек можно  посчитать по следующей  формуле

Однако абсолютные значения PS и CS представляют небольшой  интерес для экономистов. Экономистов  больше волнует ответ на вопрос, как и на сколько изменится  излишек потребителя в результате проведения того или иного мероприятия  государственной политики, оказывающей влияние на равновесие на рынке, в частности, при установлении налогов, введении субсидий и т. п.

Допустим, например, что товар облагается налогом  в размере t на единицу товара (такой  налог экономисты называют потоварным налогом), тогда его цена увеличится с P₁ до P₂ (P₂ = P₁ + t).

Таким образом, получаем, что ∆CS – уменьшение благосостояния потребителя, оцениваемое с помощью потребительского излишка, есть разница площадей двух фигур, соответствующих CS₁ и CS₂, и по форме напоминает трапецию, площадь которой, в свою очередь, равна сумме площадей фигур T₁ и T₂, т. е. ∆CS =S_T1 +S_T2 , S_T1 где измеряет потери излишка потребителя, вызванные увеличением цены единицы товара на размер налога и равна tQ₂, а S_T1 измеряет потери благосостояния потребителя, связанные с уменьшением количества потребляемого товара (Q₂ < Q₁), и равна

Таким образом, для случая введения потоварного  налога в размере t имеем

В общем же случае результат изменения потребительского излишка вследствие увеличения цены на товар может быть записан, например, в следующем виде

Заключение 

Для иллюстрации  практического использования данного  анализа рассмотрим пример, который  приводит в своей работе «Анализ воздействия налоговых реформ на благосостояние с использованием данных по домохозяйствам» современный английский экономист М. Кинг [1], исследуя последствия проводимой в Великобритании в 1983 г. реформы налогообложения жилищных услуг.

Суть данной реформы сводилась к отмене налоговых  скидок при уплате налога на проживание для владельцев собственных домов  с одновременным увеличением  арендной платы за проживание в муниципальных  домах. Дополнительные средства, полученные в результате такого мероприятия, подлежали возврату домохозяйствам в форме безвозмездных социальных выплат, пропорциональных доходу домохозяйства.

Исследовав расходы  на жилищные услуги по 5895 домохозяйствам, Кинг вывел функцию спроса на жилищные услуги. В итоге им было установлено, что данная налоговая реформа оказала бы положительное воздействие на благосостояние 4888 из 5895 домохозяйств. Более того, он смог точно идентифицировать те домохозяйства, которые понесли бы наибольшие потери от такой реформы. Он обнаружил, что от реформы выиграли бы 94% домохозяйств, имеющих самые высокие доходы, и лишь 58% лиц с наименьшими доходами. Полученные им результаты оказали огромное влияние на концепцию разрабатываемых реформ. В результате намечавшиеся изменения в реформировании системы налогообложения жилищной сферы были кардинально пересмотрены и изменены для более полного соответствия поставленным целям.  

Библиографический список:

1. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. М.: ЮНИТИ, 1997.
2. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. М.: Инфра-М, 1998.
3. Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981.
4. Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
5. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.
6. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.
7. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
8. Арнольд В.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.