Исследование применений формулы Тейлора

Муниципальное образовательное учреждение «Лицей города Кирово-Чепецка Кировской  области» 
 
 

ИССЛЕДОВАНИЕ  ПРИМЕНЕНИЙ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА 
 

Автор: Викторова  Юлия,

Сильванский Максим 11 А класс

Учитель: Семакова Наталья Вениаминовна

Учитель математики 
 
 

КИРОВО-ЧЕПЕЦК

2009

Содержание

Ведение…………………………………………………………………………......3

1.Теоретическая часть………………………………………………………....…..5

  1.1. Многочлен Тейлора………………………………………………………….-

  1.2. Разложение функций по формуле Тейлора……………………………...…8

  1.3. Примеры разложения некоторых функций по формуле Тейлора……….10

    1.3.1. Функция f(x)= e^x……………………………………………….…-

    1.3.2. Функция f(x)= sin x ……………………………………………………11

1.3.3. Функция f(x) = cos(x)…………………………………………………12

    1.3.3. Функция f(x) = ln(1 + x)………………………………………..13

1.3.5.Функция f(x) = (1 + x)^a………………………………………………….-

2. Практическое  применение формулы Тейлора………………………….........14

Заключение……………………………………………………………………......16

Список используемых источников……………………………………………...17

Приложение……………………………………………………………………….20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

Актуальность: зачастую мы сталкиваемся с необходимостью вычисления значений сложных функций, но научиться этому возможно только в высших учебных заведениях. Данная работа будет полезна тем, кто хочет изучить теорию приближения функций и вычислять значения сложных функций .

Объект  исследования: исследование функций и кривых линий.

Предмет исследования: формула Тейлора.

Гипотеза: на основе формулы Тейлора можно составить программу, которая вычисляет значения сложных функций с минимальным расхождением от действительного значения.

Проблема: зачастую возникает необходимость вычисления значений сложных функций, но, не прибегая к помощи каких-либо программ или устройств, это сделать сложно.

Цель: изучить возможности практического применения формулы Тейлора и составить программу на языке программирования Pascal .

Для выполнения данной цели поставлены следующие  задачи:

• в литературных источниках изучить вывод и практическое применение формулы Тейлора;
• рассмотреть примеры разложения элементарных функций по формуле Тейлора;
• разработать и написать компьютерную программу на языке программирования Pascal при помощи систематизированных данных по теории и применению формулы Тейлора.

 
 
 

Методы  исследования:

• изучение теории приближения функций, разложения сложных функций по формуле Тейлора и её применений;
• синтез теоретических знаний по формуле Тейлора и знаний языка программирования Pascal;
• разработка программы на языке программирования Pascal на основе имеющихся знаний;
• экспериментальная проверка программы.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Теоретическая часть

     Элементы  важной и интересной области математики - теория приближения функций (аппроксимация). Под приближением функции понимают замену по определенному правилу  одной функции другой, близкой  к исходной в том или ином смысле. Практическая необходимость в такой замене возникает в самых различных ситуациях, например, когда данную функцию необходимо заменить более простой и удобной для вычислений.

     Применение  формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

1.1. Многочлен Тейлора

     Многочлен P(x), наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции f(x), мы сможем вместо сложного вычисления значений функции f(x) приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена P(x).

     Уточним теперь постановку задачи. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности E=(x₀ -∂; x₀+∂) некоторой точки x₀ и имеет всюду в окрестности E производные f ^(k)(x)при k=1,2,3,…,n .  
 

     Многочленом Тейлора степени n в точке x₀ называется многочлен P(x) степени n, такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке x₀, равны соответствующим значениям функции f(x) и её производных f ^(k)(x) до порядка n в этой же точке:   P^(k)(x₀)= f ^(k)(x₀); k=0,1,2,3,…,n.

     Если  это условие совпадения выполнено, то графики функций y= f(x) и y=P(x), по крайней мере при x, близких к x₀, будут идти весьма тесно друг к другу. Равенство P(x₀)= f (x₀) означает, что графики проходят через одну и ту же точку (x₀; f (x₀)) ; равенство P′(x₀)= f ′(x₀) означает, что эти графики имеют в этой общей точке совпадающие касательные (так как общее значение производной - это общий угловой коэффициент касательной); равенство P′′(x₀)= f ′′(x₀) означает, как мы убедимся ниже, что эти графики имеют в общей точке одинаковую кривизну, и т. д.

     Для нахождения вида многочлена Тейлора  для заданной функции сделаем  сначала следующее замечание. Любой  многочлен P(x) степени n вида P(x) = a₀xⁿ +  a₁x^n-1 + a₂x^n-2 +…+ a_n-1x + a_n можно представить в виде, расположенном по степеням бинома (x-x₀):

P(x) = a₀(x-x₀)ⁿ+ a₁′(x-x₀)^n-1+ a₂′(x-x₀)^n-2+…+ a_n-1′(x-x₀)+ a_n′,

и наоборот, раскрыв  скобки в последней формуле, мы можем  получить многочлен по степеням x.

     Действительно, положив t= x-x₀, мы можем подставить x= t+ x₀ в правую часть формулы P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 +…+ a_n-1x + a_n, раскрыть степени (t+ x₀)^k при k=2,3…,n по формуле бинома Ньютона, а потом привести подобные члены.

Все коэффициенты a_i (кроме a₀) и свободный член при этом изменятся на некоторые другие (a_i′ в нашей формуле), но получится многочлен по степеням бинома x-x₀ , имеющий ту же степень n.

     Итак, будем предполагать, что многочлен  Тейлора мы ищем в виде

P(x) = a_n(x-x₀)ⁿ+ a_n-1(x-x₀)^n-1+ a_n-2(x-x₀)^n-2+…+ a₂(x-x₀)²+ a₁(x-x₀) + a₀ (1)

при некоторых  коэффициентах a_k, пока не известных. Отыщем значения этих коэффициентов Тейлора a_k по значениям производных данной функции в точке x₀.

     Учтём требование к значению многочлена: P(x₀)= f (x₀) . Подставив в равенство (1) значение x=x₀, получим, что P(x₀)= a₀ , так как все остальные слагаемые обратятся в 0. Тем самым a₀ = f (x₀).

Учтём затем  требование к значению первой производной  многочлена: P′(x₀)= f′(x₀). Производная от P(x) равна

P′(x)=n·a_n(x-x₀)^n-1+ (n-1)·a_n-1(x-x₀)^n-2+(n-2)·a_n-2(x-x₀)^n-3+…+2a₂(x-x₀)+a₁. (2)

Подставив в  равенство (2) значение x=x₀ , получим, что P′(x₀)= a₁ , так как снова все остальные слагаемые обратятся в 0. Отсюда a₁= f ′(x₀)

Следующее требование к значению второй производной многочлена:

P′′(x₀) = f ′′(x₀). Вторая производная от P(x) равна

P′′(x) = n(n-1)·a_n(x-x₀)^n-2+ (n-1) (n-2)·a_n-1(x-x₀)^n-3+ (n-2) (n-3)·a_n-2(x-x₀)^n-4+…+2a₂. (3) 
 
 
 
 

Снова подставив  в равенство (3) значение x=x₀ , получим, что P′′(x) = 2a₂ , откуда a₂= · f ′′(x₀). Далее нетрудно сообразить, что получится P′′′(x) =3·2a₃= f ′′′(x₀) , откуда a₃= f ′′′(x₀) и вообще, a_k= f ^k(x₀) при k=3,4…n . Учитывая, что 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=2·3, ..., последнюю формулу можно записать в виде a_k= f ^k(x₀), k=1,2,3,…,n.