Исследования систем линейных уравнений

r>---

                    a₁₁     a₁₂    …    a_1n      b₁ 

                    B =      a₂₁     a₂₂    …    a_2n      b₂

                    ………………………  ……                                   (26)

                  a_m1    a_m2    …   a_mn      b_m

которую назовем расширенной матрицей системы (14).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (14) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть система (14) совместна и c₁, c₂, ..., с_п – некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

                                    а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n  = b₁;

                                    а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n  = b₂;                         

_.                                    ……………………………………

                                   а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n = b_m

из которых  следует, что последний столбец  расширенной матрицы (26) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с  коэффициентами с₁, с₂, ..., с_п. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, c_z, ..., с_п — решение системы уравнении (14), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (14) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т. е.

                                   b₁ = а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n ;

                                   b₂ = а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n ;                         

_.                                    …………………………………

                                   b_m = а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n,

где c₁, c₂, ..., с_п — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (27) удовлетворяют значения x₁ = c₁, ..., х_п = с_п, следовательно, она совместна. Т е о р е м а д о к а з а н а.

Доказанная  теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.

                    

Пример 1. Рассмотрим систему

                                  5x₁ –   x₂ +  2x₃ +   x₄ = 7;

                                  2x₁ +  x₂  – 4x₃ – 2x₄ = 1;

                                    x₁ – 3x₂ +  6x₃ – 5x₄ = 0.

   

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так  как сцществует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например

                                 5   –1   = 7,

                                 2     1

а все миноры третьего порядка  равны нулю.

Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка  этой матрицы, например

                                5   –1     7

                                2     1     1   = –35.

                                1   –3     0             

Согласно критерию Кронекера  – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

 

Пример 2. При каких k совместна система уравнений

                                         x + ky = 3,

                                       kx + 4y = 6?

Поскольку r ≠ 0, то эта система совместна в двух случаях: когда ∆ ≠ 0

И когда R = r = 1. Поэтому рассмотрим два случая.

1) Если ∆ = 0, т.е. если r ≠ 0, т.е. если k² ≠ 4, то по правилу Крамера система имеет единственное решение.

Значит, для  любого k, кроме k = 2 и k = –2, система имеет единственное решение.

2) Если R = r = 1, т.е. если

                            1     k   =   3     k   =   1     3   = 0,

                            k     4        6     4        k     6      

т.е. если k = 2, то система совместна.

Подводя итог, получаем, что исходная система совместна  при любых k кроме k = –2.

Используя критерий Кронекера –  Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y:

                                           a₁x + b₁y = c₁,

                                           a₂x + b₂y = c₂.                                           (26)

Основная матрица этой системы

                                          a₁     b₁

                                          a₂     b₂   

имеет ранг r, причем 0 < r < 2.

Расширенная матрица

                                          a₁     b₁     с₁

                                          a₂     b₂     с₂

имеет ранг R, причем 0 < r < R. Очевидно, что r < R < r+1.

Имеют место следующие утверждения.

Пусть дана система двух линейных уравнений  с двумя неизвестными (26). Тогда:

1. Если r = R = 0, т.е. если все коэффициенты a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (26).
2. Если r = 0, R = 1, т.е. a₁ = a₂ = b₁ = b₂ = 0 и c + c ≠ 0, то система (26) не имеет решений.
3. Если r =1, R = 1, то система (26) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.
4. Если r = 1, R = 2, то система (26) не имеет решений.
5. Если r = 2, R = 2, то система (26) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Справедливы и обратные утверждения.

1. Если система (26) имеет единственное решение, то r = R =2.
2. Если любая пара действительных чисел является решением системы (26), то r = R = 0.
3. Если система (26) не имеет решений, то r ≠ R, т.е. либо r =0 и

R = 1, либо r =1 и R = 2.

4.  Если  система (26) имеет бесконечно много  решений, но не любая пара  действительных чисел является  её решением, то r = R = 1.

Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (26) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a  + b  ≠ 0, a  + b  ≠ 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (26)

Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями

                                 a₁x + b₁y – c₁ = 0,

                                 a₂x + b₂y – c₂ = 0,                                            (27)

где a  + b  ≠ 0, a  + b  ≠ 0.

1. Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2.
2. Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2.
3. Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем достаточность условий.

1. Если r = R = 2, то система (27) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются.
2. Если r = 1, R = 2, то система (27) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают.
3. Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е.

             a₁    b₁   = 0,     c₁    b₁   = 0,     a₁    c₁   = 0.

             a₂    b₂               c₂    b₂             a₂    c₂     

  Эти условия можно переписать так:

                                     a₁b₂ = b₁a₂,                                                     (28)

                                     c₁b₂ = b₁c₂,                                                     (29)

                                     a₁c₂ = c₁a₂.                                                     (30)

Рассмотрим  теперь все возможные случаи.

а) Если а₁ = 0, то b₁ ≠ 0, так как a₁ + b₁ ≠ 0. Тогда из (28) следует, что а₂ = 0, а так как a₂ + b₂ ≠ 0, то b₂ ≠ 0. Тогда из (29) находим, что c₁/b₁ = c₂/b₂ = α и при этом уравнения прямых примут вид

b₁(y – α) = 0, b₂(y – α) = 0. Поскольку b₁ ≠ 0, b₂ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y – α = 0.

б) Если b₁ = 0, то а₁ ≠ 0, а из (28) тогда следует, что b₂ = 0(причем

-43-

а₂ ≠ 0). Тогда из (30) имеем c₁/a₁ = c₂/a₂ = β, и поэтому уравнения прямых примут вид а₁(x – β) = 0, а₂(x – β) = 0. Поскольку

а₁ ≠ 0, а₂ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x – β = 0.

в) Если а₁ ≠ 0 и b₁ ≠ 0, то из (28) вытекает, что а₂/a₁ = b₂/b₁ = γ, а из (29) и (30) вытекает, что с₂ = b₂c₁/b₁ = a₂c₁/a₁. Т.е. получаем, что

а₂ = γа₁, b₂ = γb₁, c₂ = γc₁, и поэтому уравнения прямых примут вид

a₁x + b₁y – c₁ = 0, γ(a₁x + b₁y – c₁)= 0. Поскольку γ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают.

Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного.

1. Пусть прямые  пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно,  r = R = 2.

2. Пусть прямые  параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = 1, R = 2.

3. Пусть прямые  совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны.

Следовательно, r = R = 1.

Т е о р е м а д о к а з а н а п о л н о с т ь ю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

 

1. А.А.Дадаян. Алгебра и геометрия./А.А.Дадаян, В.А.Дударенко.  Минск: „Вышэйная школа”, 1989г.
2. Д.К.Фаддеев. „Сборник задач по высшей алгебре”./ Д.К.Фадеев, И.С.Саминский. Москва: „Наука”, 1977г.
3. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Линейная алгебра 
4. http://math.semestr.ru