Автор работы: Пользователь скрыл имя, 15 Января 2011 в 18:29, курсовая работа
Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции, если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки. При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Заметим, что в силу определения точки экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащий эту точку.
Экстремум функции 3
Необходимые условия 4
Достаточные условия 5
Условия отсутствия экстремума 6
Наибольшие и наименьшие значения 8
Использованная литература 9
Δ = t2∕2 {
aik ΔhiΔhk + aik ΔhiΔhk}.
Первая сумма в скобках есть определённое положительное число
aik ΔhiΔhk > 0.
Во второй сумме коэффициенты стремятся к нулю при t→0, ибо при этом, очевидно, и все Δxi→0. Значит, при достаточно малом t, выражение в фигурных скобках (а с ним и вся разность Δ) становиться положительным, т. е. в точках упомянутой выше прямой, достаточно близких к (x01, x02, x03), будет
f(x1, x2, x3) > f(x01, x02, x03).
С другой же стороны, если взять
Δxi=
it при t≠0 (i=1, 2, 3),
т. е. передвигается вдоль другой прямой, соединяющий точку (x01, x02, x03) с точкой
(x01 + 1, x02 + 2, x03 + 3), то в ее точках, достаточно близких к (x01, x02, x03) окажутся
f(x1, x2, x3) < f(x01, x02, x03).
Этим доказано, что в испытуемой точке не может быть ни максимума, ни минимума.
Может случиться, что форма
aik ΔyiΔyk,
не будучи способна принимать значения разных знаков, всё же не является определённой, ибо обращается в нуль не только при нулевых значениях аргументов: в этом случае форму называют полуопределённой.
Случай, когда форма
aik ΔxiΔxk
оказывается полуопределённой, есть «сомнительный» случай. Зависимости от поведения высших производных, в этом случае может быть экстремум, может его и не быть. В частности, высшие производные должны быть привлечены и тогда, когда все производные второго порядка в испытуемой точке обращаются в ноль.
Наибольшие и наименьшие значения
Пусть функция u=f(x1, x2, x3) определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области D и, за исключением, быть может, отдельных точек, имеет в этой области конечные частные производные. По теореме Вейерштрасса, в этой области найдётся точка (x01, x02, x03), в которой функция получает наибольшее (наименьшее) из всех значений. Если точка (x01, x02, x03) лежит внутри области D, то в ней функция, очевидно, имеет максимум (минимум), так что в этом случае интересующая нас точка содержится среди «подозрительных» по экстремуму точек. Однако своего наибольшего (наименьшего) значения функция u может достигать и на границе области. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее (наименьшее) значения функции u=f(x1, x2, x3) в области D нужно найти все внутренние точки, «подозрительные» по экстремуму, вычислить значения функции в них и сравнить со значениями функции в пограничных точках области: наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области.
Использованная литература
- Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» том 1. – М.: Наука, 1970.
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. «Элементы теории функций и функционального анализа». - М.: Наука, 1981.