Элементы линейной алгебры

Задача 1.

Вычислить значение функции при . Ответ представить в тригонометрической форме.

Решение:

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:

              Ответ:

Задача 2.

Найти Х из матричного уравнения

АХ + 4В - 3С = 0

АХ = 0 + 3С – 4В

Найдем определитель матрицы  А:

Проверка:

Ответ:

Задача 3.

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А и составить ее каноническое разложение.

Решение:

Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы А, если существует собственное число такое, что выполняется равенство: .

Найти собственные вектора матрицы можно, решив систему уравнений:

              Для того чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

- характеристическое уравнение матрицы.

              Составим характеристическое уравнение матрицы А:

Корни этого уравнения являются собственными числами матрицы А.

Для отыскания собственных векторов составим систему уравнений:

Полагая , получаем систему уравнений для первого собственного вектора :

Положив х=2, получим у=-1, то есть первым собственным вектором является вектор

Полагая , получаем систему уравнений для второго собственного вектора :

Положив х=3, получим у=-2, то есть вторым собственным вектором является вектор .

Составим каноническое разложение матрицы А:

              Ответ: ; ; ; ;

Задача 4.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Решение:

а) Метод Крамера

Найдем определитель

1-ый определитель для вычисления х1

2-ый определитель для вычисления х2

3-ий определитель для вычисления х3

данная система уравнений имеет решения:

Решение системы: (-2; 0; 3).

б) Метод Гаусса

Запишем систему в виде:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Разделим 1-ую строку на (-2):

Умножим 2-ую строку на (4). Умножим 3-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Разделим 2-ую строку на (-7), 3-ью на (-4)

Вычтем из 1-ой строки 2-ую.

Умножим 1-ую строку на 2. Добавим 1-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (-1/2), 2-ую строку на (3/4).Добавим к 3-ей строке 1-ую и 2-ую:

Решение системы: (-2; 0; 3).

в) матричный способ

Найдем определитель

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение.

X = A-1∙ Y – решение системы,

где A-1 – матрица обратная A.

Найдем алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составим из них присоединенную матрицу (Е –А)Пр, элементы которой являются алгебраическим дополнениями элементов матрицы (Е –А)Т:

Решение системы: (-2; 0; 3).

Проверка:

Ответ: Решение системы: (-2; 0; 3).

Задача 5.

Исследовать систему уравнений на совместность. В случае совместности найти ее решение при различных способах выбора базиса.

Решение:

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Рангом матрицы называется наивысший порядок минора, отличного от нуля. Чтобы найти ранг матрицы, преобразуем расширенную матрицу системы А1 методом Гаусса.

Разделим первое уравнение на (-2):

Чтобы исключить х1 из второго, третьего и четвертого уравнений системы, прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на (-3), к третьему уравнению первое, умноженное на (-2), к четвертому уравнению первое, умноженное на (-3):

Поменяем третье и второе уравнение местами и разделим на 4. Затем, чтобы исключить х2 из третьего и четвертого уравнений системы, прибавим  к третьему уравнению второе, умноженное на (-7/2), к четвертому уравнению второе, умноженное на (-15/2):

Умножим третье уравнение на (-8/7). Затем, чтобы исключить х3 из четвертого уравнения системы, прибавим  к четвертому уравнению третье, умноженное на (7/8):

Ранг матрицы А равен 3, r(A)=3. Ранг расширенной матрицы А1 равен 4, r(A1)=4. Следовательно, система уравнений несовместна.

11