4j = 2pk,    kÎZ

    j = ,      kÎZ

    r⁴ = 1

    r = 1

    Z = cos + i×sin

    k = 0,1,2,3...

    k = 0

    Z₁ = cos0+ i×sin0 = 1 + 0 = 1

    k = 1

    Z₂ = cos + i×sin = 0 + i = i

    k = 2

    Z₃ = cosp + i·sinp = –1 + 0 = –1

    k = 3

    Z₄ = cos + i×sin

                                                  Ответ: Z₁₃ = 1,   Z₂₄ = i

3.6 Возведение в степень и извлечение корня

 

    Из  формулы 6 видно, что возведение комплексного числа  r·( cosj + i·sinj) в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

    [ r·(cosj + i·sinj)]ⁿ= rⁿ·( cos nj + i·sin nj)

    Число Z называется корнем степени n из числа w ( обозначается ), если Zⁿ =w.

    Из  данного определения вытекает, что  каждое решение уравнения Zⁿ = w является корнем степени n из числа w. Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени n из числа w, достаточно решить уравнение Zⁿ = w. Если w=0, то при любом n уравнение Zⁿ = w имеет только одно решение Z= 0. Если w 0, то и Z 0, а, следовательно, и Z и w можно представить в тригонометрической форме

    Z = r·(cosj + i·sinj),         w = p·(cosy + i·siny)

    Уравнение Zⁿ = w примет вид:

    rⁿ·( cos nj + i·sin nj) = p·( cosy + i·siny)

    Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2p. Следовательно,  rⁿ = p и nj = y + 2pk, где kÎZ или r = и j = , где kÎZ.

    Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:

    Z_K= [cos( ) + i·sin( )],  kÎZ            (8)

    Формулу 8 называют второй формулой Муавра.

    Таким образом, если w 0, то существует ровно n корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле 8. Все корни степени n из числа w имеют один и тот же модуль , но разные аргументы, отличающиеся слагаемым, кратным числу . Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа w, соответствует точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного             n – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке Z = 0.

    Символ  не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим символом подразумевается. Например, используя запись , следует подумать о том, чтобы было ясно, понимается под этим символом пара комплексных чисел i и –i, или одно, то какое именно.

 

4 Квадратное уравнение с комплексным переменным

    Рассмотрим  уравнение Z² = a, где a – заданное действительное число, Z – неизвестное.

    Это уравнение:

• имеет один корень, если a = 0.
• имеет два действительных корня Z_1,2= , если a > 0.
• не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня.

    Запишем число a в виде a = (– 1)×(– a) = i²× = i²×( )². Тогда уравнение     Z² = a запишется в виде:                          Z² – i²×( )² = 0

    т.е.                                          (Z – i× )(Z + i× ) = 0

    Следовательно, уравнение имеет два корня: Z_1,2 = i×

    Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни  любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами

    a×Z² + b×Z + c = 0

    По  известной общей формуле

    Z_1,2=                (10)

    Итак, при любых действительных a(a 0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле (10) : D = b² – 4×a×c положителен , то уравнение a×Z² + b×Z + c = 0 два действительных различных корня. Если D = 0, то уравнение a×Z² + b×Z + c = 0 имеет один корень. Если D < 0, то уравнение a×Z² + b×Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

    Комплексные корни квадратного уравнения  обладают такими же свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.

    Сформулируем  основные из них:

    Пусть Z₁,Z₂ – корни квадратного уравнения a×Z² + b×Z + c = 0, a 0. Тогда справедливы свойства:

    1. Теорема Виета:           Z₁ + Z₂ = –

                                             Z₁×Z₂ =

2. При всех комплексных  Z справедлива формула

    a×Z² + b×Z + c = a×(Z – Z₁)×(Z – Z₂) 

    Пример 5:

    Z² – 6·Z + 10 = 0

    Д = b² – 4·a·c

    Д = 6² – 4·10 = – 4    

    – 4 = i²·4

    Z_1,2 =

    Z_1,2 =

      Ответ: Z_1,2 =  

    Пример 6:

    3·Z²  +2·Z + 1 = 0

    Д = b² – 4·a·c

    Д = 4 – 12 = – 8

    Д = –1·8 = 8·i²

    Z_1,2 = =

    Z_1,2 =

    Z₁ = – ( )

    Z₂ = –

    Ответ:  Z_1,2 =-1/  

    Пример 7:

    Z⁴ – 8·Z² – 9 = 0

    Z² = t

    t² – 8·t – 9 = 0

    Д = b² – 4·a·c = 64 + 36 = 100

    t_1,2 = = = 4

    t₁ = 9                           t₂ = – 1

    Z² = 9                          Z² = – 1

    Z_1,2 = 3                      Z =

                                        Z_3,4 = i

    Ответ: Z_1,2 = 3,    Z_3,4 = i 

    Пример 8:

    Z⁴ + 2·Z² – 15 = 0

    Z² = t

    t² + 2·t – 15 = 0

    Д = b² – 4·a·c = 4 + 60 = 64

    t_1,2 = = = –1 4

    t₁ = – 5                      t₂ = 3

    Z² = – 5                     Z² = 3

    Z² = – 1·5                  Z_3,4 =   

    Z² = i²·5

    Z_1,2 = i

    Ответ: Z_1,2 = i ,   Z_3,4 =  

    Пример 9:

    Z² = 24 – 10·i

    Пусть Z = X + Y·i