Из  сказанного можно сделать очень интересный и важный вывод: последние три столбца матрицы (3) образуют искомую матрицу X.

       .

      Введем  ряд новых определений.

      Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы – нули. Очевидно равенство A + (–1)A = 0. Здесь в правой части через 0 обозначена нулевая матрица той же размерности, что и матрица A.

      Квадратная  матрица размера n называется единичной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные – нули. Единичную матрицу можно определить формулами:

      a_ij = 1 при i = j;

      a_ij = 0 при i ¹ j.

      Очевидно, что первые три столбца матрицы (3) образуют единичную матрицу.

      Единичная матрица, как правило, обозначается буквой E:

       .

      Легко проверить справедливость равенств: EA = AE = A. Здесь A – квадратная матрица, и размеры A и E одинаковы.

      Пусть A – квадратная матрица. Обратной матрицей к матрице A называется такая матрица A^–1, для которой справедливы равенства:

            AA^–1 = A^–1A = E.

      Очевидно, что A^–1 – квадратная матрица того же размера, что и матрица A. Сразу заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу.

      Поставим  задачу: найти обратную матрицу к  матрице

       .

      Условие

,

где

,

сводится к  трём системам уравнений, которые будем  решать одновременно, используя метод Жордана-Гаусса. Матрица, представляющая расширенные матрицы всех трёх систем, примет вид

       .

Подвергая её преобразованиям по методу Жордана-Гаусса, последовательно будем получать:

       Þ Þ

      Þ Þ  (4)

Как и  в предыдущем примере, можно сказать, что три последних столбца  образуют искомую матрицу, то есть

       .

      Теперь  сформулируем правило, по которому находится  матрица, обратная к квадратной матрице А размера n.

      Нужно выписать матрицу размерности  n ´ 2n, первые n столбцов которой образованы матрицей А, а последние n столбцов образуют единичную матрицу Е. Построенная таким образом матрица преобразуется по методу Жордана-Гаусса так, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица, если это возможно. Тогда на месте матрицы Е получается матрица А^–1.

      Если  матрицу А нельзя методом Жордана-Гаусса преобразовать к единичной матрице, то А^–1 не существует. Так матрица

      

не имеет обратной. Читатель может в этом убедиться самостоятельно.

§4. Определители

      Рассмотрим  систему двух линейных уравнений  с двумя неизвестными в общем  виде:

       .

      Найдем  x₁ следующим образом: чтобы исключить x₂, умножим первое уравнение на a₂₂ и из полученного уравнения вычтем второе, умноженное на a₁₂:

       . (1)

Обозначим D = a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁, D₁ = b₁a₂₂ – b₂a₁₂.

      Для определения x₂ поступим так: умножим второе уравнение на a₁₁ и из полученного уравнения вычтем первое, умноженное на a₂₁:

      (a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁)x_2 = a₁₁b₂ – a₂₁b₁. (2)

Обозначим D₂ = a₁₁b₂ – a₂₁b₁.

      Из (1) и (2) видно, что если D ¹ 0, то система имеет единственное решение¹, определяемое формулой

       . (3)

      Величина D называется определителем матрицы второго порядка

.

      Вообще определителем произвольной матрицы второго порядка называется число, которое обозначается и равно произ

ведению двух чисел, стоящих на главной диагонали минус произведение двух чисел, стоящих на другой диагонали: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

      Например,

       .

      Из сказанного следует, что величины D₁ и D₂ в (3) тоже являются определителями:

       .

      Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

       . (4)

Введем определение. Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников: , берутся со знаком "+", а три произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах двух других треугольников: , берутся со знаком "-". Определитель третьего порядка обозначается так:

.

      Например, 

      

      

      Решая систему (4), например методом Гаусса, можно получить равенства

      D×x₁ = D₁; D×x₂ = D₂; D×x₃ = D₃, (5)

где

      

       .

      Из формул (5) видно, что если D ¹ 0, то единственным образом определяется решение системы:

       .

      Решая квадратные системы линейных уравнений 4-го, 5-го или любого более высокого порядка, можно получить формулы, аналогичные формулам (1), (2) или (5).