Контрольная по высшей математике

Задача 1. Вычислить производные следующих функций: 

1) .

Решение. Вычисляем производную от сложной функции: сначала от внешней степени, а потом от выражения в скобках:

2) . 

Решение. Используем формулу производной от частного и формулу производной сложной функции:

Задача 2. Выполнить полное исследование функции и построить ее график.

.

Решение.

1) Область определения  функции – вся числовая прямая, то есть  .

Точек разрыва  нет, вертикальных асимптот нет.  

2) Функция общего вида, так как

3) Точки пересечения с осями координат:

: . Получаем точки (0,0), (-4,0).

: . Точка (0, 0). 

4) Асимптоты.

Так как  , асимптот нет.  

5) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:

Находим критические  точки: .

Исследуем знак производной на интервалах, на которые  критические точки делят области  определения функции. 

     у´        –       +    +         

Функция возрастает на интервалах , убывает на интервале . Функция имеет минимум при , .

6) Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную.

.

Находим критические  точки: .

Исследуем знак производной на интервалах, на которые  критические точки делят область определения функции. 

    y’´        +       –    +         

Функция выпукла вниз на интервалах , выпукла вверх на интервале .  Точки перегиба , и точка .

7) Строим график  функции, отметим ключевые точки: