Кривые второго порядка

      Министерство образования Республики Башкортостан  
ГАОУ СПО Уфимский топливно-энергетический колледж 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                                Специальность 230103 
 
 
 
 

Кривые второго порядка 
 

Исследовательская

Дисциплина: математика 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил:

Студент гр. 2АС

Мухамедьянов А.Р.

Проверила:

Преподаватель по математике

Сухарева. Г.В 
 
 

                                                                                г. Уфа

                                                                                 2011г 

Содержание: 
 

1. Кривая  второго порядка
2. Эллипс
3. Гипербола
4. Парабола
5. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка
6. Кривые 2-го порядка со смещенными центрами (вершинами)
7. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
8. Список использованных источников

 
 
 
 
 
 
 
 

 

1.Кривая второго порядка

Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой  декартовой системе координат определяется уравнением

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0

где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ≠ 0 .

Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

инварианты  относительно поворота и сдвига системы  координат:

инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

Многие  важные свойства кривых второго порядка  могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой:

 

Так, например, невырожденная кривая  оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

Или

λ2 − Iλ + D = 0.

Корни этого уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы и, как следствие этого, всегда вещественны:

Кривые второго порядка классифицируются на невырожденные кривые и вырожденные.

Доказано, что кривая 2–го порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.

Иными словами, для каждой кривой 2-го порядка (для каждого уравнения) существует такая система координат, в которой  уравнение кривой имеет вид: 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.Эллипс

Эллипс – геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек   и  , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c:  .

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Свойства  эллипса:

• Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса).

• Эллипс имеет центр симметрии (центр эллипса).

• Эллипс можно получить из окружности сжатием, т. е. преобразованием координат

У ^ ylk.

• Лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, после

Эллипс, заданный каноническим уравнением:     

симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки  ,  ,  ,   называются его вершинами.  

Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии   от центра эллипса О.  

Число   ( )  

называется  эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при   эллипс является окружностью, а при   он вырождается в отрезок длиною  ).  

Если  а<b, то фокусы находятся на оси ОY   и  ,  .  

Пример: Постройте кривую   . Найдите фокусы и эксцентриситет.  

Разделим  обе части уравнения на 36. Получаем уравнение

Это -- каноническое уравнение эллипса,   ,   . Делаем чертеж (рис. 12.7)

 
Рис.12.7.Эллипс, заданный уравнением 

Из соотношения (12.5) находим   ,   .

Фокусы --   ,   , эксцентриситет --               
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.Гипербола

Гипербола –  геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек    и   , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c:   .

 

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

 

симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках   и   - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY.  

Свойства  гиперболы:

• Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси гиперболы).

• Гипербола имеет центр симметрии (центр гиперболы), Ъ

• Гипербола имеет асимптоты y = ± — Xa

• Лучи света, исходящие из одного фокуса гиперболы, после зеркального отражения от нее, кажутся исходящими из второго ее фокуса. 

Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью.

Число  , ( ) называется эксцентриситетом гиперболы.  

Прямые   называются асимптотами гиперболы.  

Гипербола, заданная каноническим уравнением :

 ( или  ), называется сопряжённой ( имеет те же асимптоты ). Её фокусы расположены на оси OY. Она пересекает ось ОY в точках   и   - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.  

В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a – мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле:  , ( ). 

Пример: Постройте гиперболу   , найдите ее фокусы и эксцентриситет. 

Разделим  обе части уравнения на 4. Получим  каноническое уравнение

 ,   . Проводим асимптоты   и строим гиперболу (рис. 12.13). 
 

Рис.12.13.Гипербола 

Из формулы (12.9) получим   .

Тогда фокусы --   ,   ,   .     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.Парабола

Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой:  . 

Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.  

Уравнение   задает параболу, симметричную относительно оси ОY.  
 
 

Свойства  параболы:

• Парабола имеет ось симметрии (ось параболы).

• Гипербола имеет центр симметрии (центр гиперболы).

• Любые две параболы подобны друг другу.

• Лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от нее, образуют пучок параллельный оси параболы.

Парабола   имеет фокус   и директрису  . 

Парабола    имеет фокус   и директрису  .  

Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 – в отрицательную сторону.  

Пример: Постройте параболу   . Найдите ее фокус и директрису.

Уравнение является каноническим уравнением параболы,   ,   . Осью параболы служит ось   , вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси   . Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменному   и находим значения   . Возьмем точки   ,   ,   .

Учитывая  симметрию относительно оси   , рисуем кривую (рис. 12.17)

 

Рис.12.17.Парабола, заданная уравнением 

Фокус   лежит на оси   на расстоянии   от вершины, то есть имеет координаты   . Директриса   имеет уравнение   , то есть   .         

Парабола  так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света (рис. 12.18). Свойство сформулируем опять без доказательства.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка  

Рассмотрим  в декартовой прямоугольной системе  координат Oxy уравнение второго порядка общего вида: Аx² + 2Вxy + Сy² + 2Dx + 2Еy + F = 0, где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.  

Наша  цель: поменять систему координат  так, чтобы максимально упростить данное уравнение. Для этого сначала (если B 0) повернём искодный базис (координатные оси Ox и Oy) на угол α против часовой стрелки таким образом, чтобы новые оси Ox’ и Oy’ стали параллельны осям кривой, при этом исчезнет слагаемое 2Вxy:

,

где   - матрица линейного преобразования: поворот на угол α против часовой стрелки.

Или, наоборот,   . 

A(x’cosα - y’sinα)² + 2B(x’cosα - y’sinα)(x’sinα + y’cosα)+

+ C(x’sinα + y’cosα)² +