Курсовая работа по "Математике"

Содержание

 

Введение

Теория вероятностей  – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, в теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории ошибок наблюдений и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов и для многих других целей.

Статистика  занимается изучением закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления. Это изучение основано на рассмотрении и анализе статистических данных – результатов наблюдений. Основными задачами статистики являются изучение способов сбора и группировки статистических сведений, разработка методов анализа данных для получения научных и практических выводов. 

Особым разделом статистики является прикладная статистика – наука о методах обработки статистических данных. Методы прикладной статистики активно применяются в технических исследованиях, экономике менеджменте, социологии, медицине, геологии, истории и т. д. С результатами наблюдений, измерений, испытаний, опытов, с их анализом имеют дело специалисты во многих областях теоретической и практической деятельности.

В настоящее  время для решения многих задач  прикладной статистики широко используются ЭВМ. Созданы специальные функции, процедуры, служащие для обработки  больших массивов данных и облегчения труда инженеров, менеджеров, бухгалтеров  и других работников. Наиболее распространенными программами, позволяющими обрабатывать статистические данные, являются – Microsoft Excel, MathCad, MatLab, Mapple, Mathematica и другие пакеты программ.

 

Задача 1.

Условие задачи: линию обслуживают 12 вертолетов. Для нормальной работы линии необходимо не менее 8 вертолетов. Вероятность выхода на линию каждого вертолета равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы линии.

Решение:

Для вычисления вероятности нормальной работы авиалинии воспользуемся формулой суммы вероятностей независимых событий [1,2]. Линия будет нормально работать, если на линии будет находиться либо 8, либо 9, 10, 11 или 12 вертолетов, то есть

,

(1)

 где - число выходящих на линию вертолетов.

Для определения  вероятности каждого из слагаемых  будем использовать  формулу Бернулли [2], в соответствии с которой если вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна

,

(2)

где - число сочетаний из n элементов по k, - вероятность выхода на линию каждого вертолета (равна 0,8), .

Подставляя  полученные значения в формулу, последовательно  получим 

  ,

,

,

,

.

Складывая полученные вероятности, получаем вероятность нормальной работы линии или 92.7%.

Использование теоремы Муавра-Лапласа в данном случае привело бы к достаточно большой  погрешности, так как произведение , что недостаточно для использования на практике [3].

 

Задача 2.

Условие задачи: функция распределения случайной величины имеет вид

.

Записать ряд  распределения этой величины. Найти  , ,

Решение:

Для случайной  величины дискретного типа ряд распределения  является простейшей формой закона распределения. Зададим ряд распределения в  виде таблицы на основе имеющейся  функции распределения следующим  образом [2]:

.

(1)

Таким образом, в точках разрыва функции  имеет место положительная вероятность .

По заданной функции распределения точками  разрыва являются значения 2, 3, 4. Тогда

,

,

.

Таким образом, ряд распределения случайной величины имеет следующий вид

	2	3	4
	0.3	0.2	0.5

Среднее значение по распределению (математическое ожидание) случайной величины и центральный момент второго порядка (дисперсия) рассчитываются по формулам [2,4]:

,	(2)
.	(3)

Подставляя  известные значения, получаем

,

.

Вероятность того, что случайная величина принимает  значение больше или равное 3, определяется как  .

 

Задача 3.

Условие задачи: по следующим данным построить интервальный ряд, начертить гистограмму частот, перейти к точечному ряду и найти несмещенную оценку генеральной средней.

Ряд – 52, 42, 40, 38, 37, 37, 45, 43, 43, 50, 47, 39, 40, 40, 45, 36, 46, 36, 37, 37, 36.

Решение:

1) Построим интервальный  ряд распределения. Интервальный  вариационный ряд строится группированием членов дискретного вариационного ряда. В соответствии с формулой Стерджеса [3] совокупность надо разделить на рядов (21 – суммарное число членов дискретного ряда). Округлим данное значение в большую сторону и получим рядов.

Определяем  размах данных дискретного ряда . Ширина отдельного интервала будет равна . Примем ширину интервала равную 3, тогда для получения целочисленных значений интервалов к максимальному значению ряда добавим единицу и получим 53, а от минимального отнимем 1 и получим 35. Тогда интервалы ряда будут иметь вид: 35-38, 38-41…50-53. Для облегчения процесса построения интервального ряда расположим элементы вариационного ряда в порядке возрастания: 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 39, 40, 40, 40, 42, 43, 43, 45, 45, 46, 47, 50, 52.

В таблице 1 представлен  интервальный ряд заданного распределения. Значения - число членов ряда из данного интервала, причем нижний конец интервала учитывается, а верхний – нет, - вероятность попадания в интервал (число членов от общего числа). Данные в таблице будем округлять до второго десятичного знака после запятой.

Таблица 1. Интервальный ряд

№ ряда
1	35-38	7	0.33	2.33	0.11
2	38-41	5	0.24	1.67	0.08
3	41-44	3	0.14	1	0.05
4	44-47	3	0.14	1	0.05
5	47-50	1	0.05	0.33	0.02
6	50-53	2	0.1	0.67	0.03
		21	1

 

2) По данным  интервального ряда построим  гистограмму частот. Гистограмма  частот – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых - частичные интервалы, высоты равны отношению частоты к длине частичного интервала (плотность частоты) . Таким образом, для гистограммы частот площадь каждого прямоугольника будет равна частоте интервала. Гистограмма частот представлена на рисунке 1.

 

Рисунок 1 –  Гистограмма частот

 

 

3) Найдем несмещенную  оценку генеральной средней. В [1] доказано, что выборочная средняя есть несмещенная оценка генеральной средней. Выборочная средняя определяется как

,

(1)

где - элементы выборки.

Итак, несмещенная  оценка генеральной средней равна 

 

Задача 4.

Условие задачи: методом наименьших квадратов найти явный вид эмпирической формулы и построить график эмпирической функции.

	1	2	3	4	5
	7,1	27,8	62,1	110	161

 

Решение:

Суть метода наименьших квадратов состоит в  отыскании такого уравнения прямой , которое наилучшим образом согласуется с имеющимися опытными точками. Для решения данной задачи необходимо найти коэффициенты и , решив систему следующих уравнений [1]:

,	(2)
.	(3)

По опытным  данным находим следующие выражения:

,

,

,

.

Подставляем полученные значения в систему и решаем ее:

  .

Таким образом, эмпирическая формула имеет вид  .

Построим график эмпирической функции, точками нанесем  опытные данные. Для построения найдем , . График функции представлен на рисунке.

Рисунок 2 –  График эмпирической функции и опытные  данные

Как видно из рисунка, опытные данные достаточно близко расположены относительно графика эмпирической функции, что свидетельствует о верном ее определении.

 

Задача 5.

Условие задачи: по заданной корреляционной таблице

X Y	5	10	15	20	25	30	ny
30	2	6	–	–	–	–	8
40	–	5	3	–	–	–	8
50	–	–	7	40	2	–	49
60	–	–	4	9	6	–	19
70	–	–	–	4	7	5	16
nx	2	11	14	53	15	5	N = 100

Найти:

а) коэффициент линейной корреляции и оценить его значимость

б) уравнение  линейной регрессии на х

Решение:

Уравнение линейной регрессии Y на X ищется по формуле [1]

.

(1)

Как один из возможных  вариантов, коэффициент корреляции можно рассчитать в виде [1]

.

(2)

Для нахождения уравнения регрессии и коэффициента корреляции вычисляем необходимые  суммы.

.

.

.

.

Далее определяем требуемые показатели