Математическая статистика

МОСКОВСКИЙ  АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ 

Кафедра 804 "Теория вероятности  и математическая статистика" 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по  курсу 

"Математическая  статистика" 
 
 

Выполнил:

 студент  группы 08-304 
 

Принял:

профессор  каф. 804

Кан Ю. С. 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2003 г.

 

Задание 1. 

Дан случайный  вектор , где , k = 15.

Методом Монте-Карло  найти вероятность  . 
 

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) заключается  в моделировании требуемой случайной величины с помощью выборки большого объема. При этом вероятность попадания рассматриваемой случайной величины в заданную область Q определяется, исходя из соотношения:

,

где n – объем выборки, m – количество реализаций случайной величины, попавших в область Q.

Для того чтобы  смоделировать нормальный случайный  вектор с ковариационной матрицей K, задается линейное преобразование, переводящее стандартный нормальный случайный вектор в рассматриваемый случайный вектор с матрицей K.

Чтобы найти  матрицу преобразования , приводим квадратичную форму к сумме квадратов:

,  где

,

.

Таким образом, моделируя вектор из трех некоррелированных  стандартных нормальных случайных  величин, с помощью преобразования получаем гауссовский вектор с ковариационной матрицей K.

Вектор моделируется с помощью датчика случайных  чисел. Для каждой полученной реализации случайного вектора выполняется  проверка на попадание в заданный шар. Итоговая вероятность рассчитывается как отношение количества реализаций, попавших в шар, к объему выборки.

На рис. 1 показан  результат статистического испытания  при объеме выборки n = 100000, k = 10. Полученная вероятность: P = 0,73924. 

 

 

Задание 2. 

Имеются 50 опытов наблюдения X и Y:

,

где .

Оценить параметры  a и b методом наименьших квадратов. 
 

Решение 1:

Для нахождения оценок и применим метод максимального правдоподобия.

,

Составляем функцию  правдоподобия:

,

где n – объем выборки (n = 50).

Получаем логарифмическую  функцию правдоподобия:

.

Задача максимизации сводится к минимизации суммы квадратов:

Распишем сумму  квадратов:

.

Введем новые  обозначения:

 

С учетом новых  обозначений получаем:

J(a,b) = a a² + nb² + 2b ab – 2g a – 2d b + l 

Берем частные  производные:

2a a + 2b b – 2g,

2nb + 2b a – 2d.

Решаем систему:

Получаем:

,

. 

Решение 2:

Оценки параметров можно получить, решая так называемую нормальную систему уравнений:

,

где ,   ,

Получаем:

т.е. то же самое  в виде системы:

Как видно, это  та же система, что и в решении 1.

Таким образом, с учетом данных, полученных в опытах по наблюдению за X и Y, получаем значения коэффициентов:

a = 46,5000961858679,

b = 46,1733376283488,

g = 147,911922402037,

d = 146,973081745395,

l = 471,011023261011.

Получив значения коэффициентов, получаем значения оценки параметров:

a = 3,15684427413119,

b = 0,0242209047163106. 

На рис. 2 представлена прямая . 
 

 

 

Задание 2а. 

Построить доверительные  интервалы уровня 0.95 для параметров a и b. 
 

Основная  МНК-теорема:

Пусть в условия предыдущей задачи

,

.

Тогда

,

. 

Следствие:

  ,

  ,

где - (i, i)-й элемент матрицы , - квантиль уровня для распределения Стьюдента с степенями свободы. 

С учетом условия  задачи ( ) и всего вышесказанного, получаем следующее:

Матрица ,

соответственно,

 » 0,240898564361575

 »  0,259030178559918

 » 0,718538058549758

 »  2.011 

Итого – доверительные  интервалы уровня 0.95:

для a : ( 3,13736861423897 ; 3,17631993402341 )

для b : ( 0,00610850355088199 ; 0,0423333058817393 ) 
Задание 3. 

Рассматривая  как выборку, построить гистограмму (10 интервалов одинаковой длины). Пользуясь критерием и полученной гистограммой, проверить гипотезу о нормальном законе распределения с уровнем значения 0.01 случайной величины . 
 

Минимальное и  максимальное выборочные значения равны -0,2037977 и 0,2390410, соответственно. Разобьем получившийся промежуток на 10 интервалов одинаковой длины. В таблице 1 представлены характеристики получившегося разбиения. 

Таблица 1. Данные для гистограммы. 

Прежде чем  проверять гипотезу о нормальном законе распределения случайной  величины , оценим параметры закона распределения в предположении, что распределение гауссовское. Из условия предыдущей задачи

Значит, мат. ожидание равно нулю, а дисперсия оценивается  выборочной дисперсией:

Подставляя выборочные данные, получаем: 0,010326

Таким образом, выдвигаемая гипотеза:

Для каждого  интервала вычисляем вероятность, а также частоту попадания  выборочных точек. Полученные результаты представлены в таблице 2.