Метод отражений для решения СЛАУ

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 18 Марта 2011 в 17:05, реферат

Краткое описание

Метод отражений (Хаусхолдера) - метод приведения матрицы к желаемому виду
ортогональными преобразованиями вида P=I-2*Wt*W
где W - вектор единичной нормы. Выбирается он так, чтобы обнулить желаемый
элемент.

Содержимое работы - 1 файл

Метод отражений для решения СЛАУ.doc

— 37.00 Кб (Скачать файл)

Метод отражений  для решения СЛАУ

Метод отражений (Хаусхолдера) - метод приведения матрицы  к желаемому виду 
ортогональными преобразованиями вида P=I-2*Wt*W 
где W - вектор единичной нормы. Выбирается он так, чтобы обнулить желаемый 
элемент.

Метод Хаусхолдера для симметричных матриц 

Метод Хаусхолдера  позволяет привести матрицу к  трехдиагональному виду, выполнив почти вдвое меньше вычислений по сравнению с другими методами. Это обусловлено тем, что при его применении становятся нулевыми сразу все элементы строк и столбцов, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод Хаусхолдера позволяет получить требуемый результат быстрее, чем метод Гивенса, так как связан с выполнением меньшего числа, хотя и более сложных преобразований. Это его свойство особенно ярко проявляется применительно к большим матрицам. Хотя в методе Хаусхолдера вместо плоских вращении используются эрмитовы ортогональные преобразования матриц, трехдиагональная форма матрицы, которую получают этим методом, имеет те же собственные значения, что и трехдиагональная матрица, получаемая методом Гивенса. При использовании метода Хаусхолдера на п — 2 основных шагах выполняются следующие преобразования:

Аk = РkAk-1Рk, k=1, 2, ..., п-2,

где Aо == А. 

Каждая преобразующая  матрица имеет вид

                                          uk ukT

                Pk = E - -------------- ,

                                           2Kk2 

где

                  ui,k = 0  при i = 1, 2, …, k,

            ui,k = ak,при i = k+2, …, n,

            uk+1,k = ak,k+1  ± Sk. 

Здесь

       n         1/2

                  Sk =      S  a2k,i

                        i=k+1 

                  2K2k = S2± ak, k+1 Sk.

В этих уравнениях берется знак, соответствующий  элементу ak,k+1. Это позволяет сделать значение иk+1,k максимальным. Отметим, что методами Гивенса и Хаусхолдера можно пользоваться и в случае несимметричных матриц, приводя их, правда, не к трехдиагональному, а другому частному виду треугольной матрицы известной как матрица Гессенберга: 

* * 0 0 0 0
* * * 0 0 0
* * * * 0 0
* * * * * 0
* * * * * *
* * * * * *

Информация о работе Метод отражений для решения СЛАУ