Методы интегрирования

Контрольная работа № 3 

    Задание 125. Вычислите определенные интегралы.

    а)   б)  

     Решение: 

     а) Используем метод интегрирования по частям: 
 
 

  б) Используем тригонометрическую подстановку: 
 
 

    Ответ: а) ;

           б) . 

    Задание 135. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и Сделайте рисунок.

    Решение: 

    Запишем уравнения кривых в виде

. 
 

Найдем  пересечение кривых: 
 
 

Кривые  пересекаются в точках x₁=1 и x₂=-2.

    Построим графики в одной плоскости.

     

    Определим площадь фигуры по формуле  
 

    Ответ: Площадь фигуры равна 4,5. 
 
 
 

    Задание 145. Найдите общие решения дифференциальных уравнений.

    а)   б)  

    _{Решение:} 

    а)  

    Делаем  замену где т. е. и сводим его к уравнению с разделяющимися переменными. 
 
 

    Далее равенство интегрируем и получаем общий интеграл: 

    Найдем 1-ый интеграл: 

    Найдем 2-ый интеграл: 
 
 
 
 
 
 
 
 

    б)

    Данное  уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением 3-го порядка с постоянными коэффициентами.

     Общим решением этого уравнения является функция 

где – линейно независимые частные решения;

     – произвольные постоянные.

     Для нахождения частных решений данного уравнения составим характеристическое уравнение и решим его. 

    Каждому корню характеристического уравнения  соответствует свое частное решение:

      – простой действительный корень, ему соответствует решение

     – действительный корень кратностью 2, ему соответствует 2 частных решения .

    Общее решение:  

    Ответ: а) ;

           б) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задания 155. Решите задачу Коши при начальном условии  
 

    _{Решение:} 

    Подставим в заданное уравнение 
 

Найдем функцию как частное решение дифференциального уравнения  
 

    Находим общее решение уравнения  

    Запишем общее решение  

    Подставляем условие  

    Частное решение  дифференциального уравнения

         

    Ответ:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 165. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями , с помощью:

    1) двойного интеграла;

    2) тройного интеграла. 

    Решение: 

    Тело, объем которого надо вычислить, ограничено сверху плоскостью снизу – плоскостью сбоку – поверхностями и . 

1. Для вычисления объема используем формулу 

 

    Область интегрирования D ограничена кривыми  , и прямой х=1. Отсюда объем тела представим в виде 

2. Для вычисления объема используем формулу

 
 
 

  Ответ: Объем тела равен 1,1 куб.ед.

    Задание 175. Даны векторное поле и две поверхности и . Вычислите:

    1) поток векторного поля через замкнутую поверхность σ, ограниченную поверхностями и в направлении внешней нормали;

    2) циркуляцию векторного поля вдоль линии L пересечения поверхностей и в положительном направлении обхода относительно орта  

    Решение: 

    1) Для определения потока векторного поля через замкнутую поверхность σ в направлении внешней нормали используем формулу Остроградского – Гаусса:

,

где – дивергенция векторного поля. 
 

Найдем  область T.  

Найдем  линию пересечения поверхностей и  

Заменим переменные x, y, z в тройном интеграле цилиндрическими координатами

 

Таким образом, поверхностью σ будет окружность единичного радиуса на высоте . В цилиндрических координатах – уравнение верхней части поверхности , – уравнение верхней части поверхности .

    Воспользуемся формулой 
 
 

    2) Циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура L определяется формулой  

    Замкнутый контур L (определен выше) _.

    

    Так как направление обхода положительное, то линия интегрирования обходиться против часовой стрелки.

Параметрические уравнения  окружности имеют вид 

, так  что  
 

    Ответ: 1) Поток векторного поля равен ;

                2) Циркуляция векторного поля равна π. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа № 4 

    Задание 185. Исследуйте сходимость числового ряда. 
 

    Решение: 

    Дан  знакоположительный ряд. Применим к нему признак Коши.

    ряд сходится.  

    _{Ответ: Ряд сходится.} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 195. Найдите радиус и область сходимости степенного ряда, установите тип сходимости (абсолютная, условная сходимость). 
 

    Решение: 

    Найдем  радиус сходимости 

    Это  означает,  что исходный ряд сходится абсолютно на интервале сходимости . Исследуем сходимость ряда при .

    При ряд имеет вид Согласно признаку Лейбница (ряд знакочередующийся, , ) исходный ряд сходиться.

    При ряд имеет вид Mожно сравнить с рядом Тейлора , который расходиться, а значит и исходный ряд расходиться. 

    Ответ: Радиус сходимости равен 1, область сходимости ряда , при ряд сходиться абсолютно, при сходиться условно. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 205. Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена. 

    Решение: 
 

    _{Разложим  функцию cosx в ряд Маклорена:} 
 

    Достаточно  первых трех членов ряда для точности ε=0,001 
 

    Ответ: 0,120 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 215. На промежутке задана периодическая функция  

    1) постройте график функции;

    2) разложите функцию в ряд Фурье;

    3) постройте график суммы ряда  Фурье. 

    Решение:

    1)

    

    2) Разложим функцию в ряд Фурье :

         Определим коэффициенты Фурье: 
 
 

    Тогда

    _{3) Построим график суммы ряда Фурье для n=1:} 

    

 

    Ответ:   
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 225. Разложите функцию в ряд Лорана в окрестности точки  

    Решение: 
 

    Разложим по степеням :

    , тогда 
 

    Ответ: . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 235. Вычислите интеграл при помощи вычетов. 
 

    Решение: 
 

    z₁=-2 – полюс 2-го порядка;

    z₂=1 и z₃=-1 – полюса 1-го порядка.

     Подынтегральная функция g(z) аналитична в круге , кроме точек z₁=-2 и z₃=-1

    Интеграл  при помощи вычетов определяется по формуле

    Учитывая  формулы и получаем 
 

    Тогда,  

    Ответ:  
 
 
 
 
 
 

    Задание 245. Найдите изображение заданного оригинала  
 

    _{Решение:} 
 

    _{Воспользуемся таблицей оригиналов и изображений:}

      _{, тогда} 
 

    Ответ: